双曲几何：修订间差异

求闻百科，共笔求闻
以互动方式浏览历史
添加的内容 删除的内容
可视化wikitext
（修改自此处；原许可：CC BY-SA 3.0［网站升级迁移］）
 
小 （→‎top：​清理）
 

（未显示3个用户的4个中间版本）

第3行： 第3行：
'''双曲几何'''又名'''罗氏几何'''（[[罗巴切夫斯基]]几何），是[[非欧几里德几何]]的一种特例。與[[欧几里德几何]]的差別在於第五條公理（公設）－[[平行公設]]。在[[欧几里德几何]]中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了[[平行公設]]。然而，取代[[欧几里德几何]]中的[[平行公設]]的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了[[平行公設]]獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得[[平行公設]]。
'''双曲几何'''又名'''罗氏几何'''（[[罗巴切夫斯基]]几何），是[[非欧几里德几何]]的一种特例。與[[欧几里德几何]]的差別在於第五條公理（公設）－[[平行公設]]。在[[欧几里德几何]]中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了[[平行公設]]。然而，取代[[欧几里德几何]]中的[[平行公設]]的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了[[平行公設]]獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得[[平行公設]]。


到目前為止，數學家對雙曲幾何中[[平行線]]的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是[[三角形]]的內角和小於一個[[平角]]（180°）。在極端的情況，[[三角形]]的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該[[三角形]]稱作[[理想三角形]]。
到目前為止，數学家對雙曲幾何中[[平行線]]的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是[[三角形]]的內角和小於一個[[平角]]（180°）。在極端的情況，[[三角形]]的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該[[三角形]]稱作[[理想三角形]]。


双曲几何专门研究当平面变成[[抛物面|鞍马型]]之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的[[曲率]]是[[負数]]。
双曲几何专门研究当平面变成[[抛物面|鞍马型]]之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的[[曲率]]是[[負数]]。
第31行： 第31行：
<center><math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} </math></center>
<center><math>\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} </math></center>


不同於[[歐幾里得幾何]]，雙曲幾何中三角形的內角和必小於π(180°)，故稱其內角和與π的差為該三角形的[[角虧]]，則該三角形的面積等於該三角形的[[角虧]]乘以 R²，而<math> R = \frac{1}{\sqrt{-K}}</math>。故所有三角形的面積均小於等於πR²，且等號成立[[若且唯若]]該三角形為[[理想三角形]]。
不同於[[歐幾里得幾何]]，雙曲幾何中三角形的內角和必小於π(180°)，故稱其內角和與π的差為該三角形的[[角虧]]，則該三角形的面积等於該三角形的[[角虧]]乘以 R²，而<math> R = \frac{1}{\sqrt{-K}}</math>。故所有三角形的面积均小於等於πR²，且等號成立[[若且唯若]]該三角形為[[理想三角形]]。


== 圓與球 ==
== 圓與球 ==
第47行： 第47行：
故圓的周長必大於 <math> 2\pi r </math>。
故圓的周長必大於 <math> 2\pi r </math>。


圓的面積則是 <math> 2\pi R^2 (\cosh \frac{r}{R} - 1) </math>。
圓的面积則是 <math> 2\pi R^2 (\cosh \frac{r}{R} - 1) </math>。


球的表面積為 <math> 4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} </math> ，必大於[[歐幾里得幾何]]的 <math> 4\pi r^2 </math>
球的表面积為 <math> 4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} </math> ，必大於[[歐幾里得幾何]]的 <math> 4\pi r^2 </math>


球的體積為 <math> \pi R^3 \sinh \frac{2r}{R} - 2\pi R^2r </math>
球的體積為 <math> \pi R^3 \sinh \frac{2r}{R} - 2\pi R^2r </math>
第92行： 第92行：


== 參考資料 ==
== 參考資料 ==
* http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/cannon.pdf{{Wayback|url=http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/cannon.pdf |date=20141114024301 }}
* http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/cannon.pdf


== 外部連結 ==
== 外部連結 ==
* [http://plus.maths.org/issue43/features/serieswright/index.html Non-Euclidean geometry and Indra's pearls, by Caroline Series and David Wright]{{Wayback|url=http://plus.maths.org/issue43/features/serieswright/index.html |date=20091015095136 }}
* [http://plus.maths.org/issue43/features/serieswright/index.html Non-Euclidean geometry and Indra's pearls, by Caroline Series and David Wright]


[[Category:古典幾何學]]
[[Category:古典幾何學]]
取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/双曲几何”