自然单位制：修订间差异

在[[物理学]]裏，'''自然單位制'''（{{lang|en|natural unit}}）是一种建立于[[物理常数|基礎物理常数]]的[[計量單位]]制度。例如，[[电荷]]的自然單位是[[基本电荷]] <math>e</math> 、[[速度]]的自然單位是[[光速]] <math>c</math> 、[[角动量]]的自然單位是[[約化普朗克常数]]<math>\hbar</math>、[[电阻]]的自然單位是[[自由空間阻抗]]<math>Z_0</math>，都是基礎物理常数（[[質量]]的自然單位則有[[电子]]質量<math>m_e</math>与[[質子]]質量<math>m_p</math>等等）。純自然單位制必定会在其定义中，将某些基礎物理常数[[歸一化]]，即将這些常数的数值規定为整数[[1]]。

自然單位制的主要目标，是将出現于物理定律的代数[[表达式]]精緻地简化，或者，将一些描述[[基本粒子]]属性的物理量歸一化。物理学者認为這些物理量应该相當常定。但是，任何物理实驗必需操作与完成于物理宇宙內部，所以，很難找到比物理常数更常定的物理量。假設某物理常数是單位制的基本單位或衍生單位，則不能用這單位制来測量這物理常数的数值變化，所以通常只能夠研究无量纲的物理常数的数值變化，否則必需另外选擇一种單位制来研究這物理常数的数值變化，而這另外选擇的單位制不能以這物理常数为基本單位或衍生單位<ref name=Karshenboim2004>{{Citation

自然單位制之所謂「自然」，是因为其定义乃基于自然属性，而不是基于人为操作。举例而言，[[普朗克單位制]]時常会被直接地指称为自然單位制。事实上，很多种單位制都可以称为自然單位制，普朗克單位制只不過是最为学术界熟知的一种自然單位制。普朗克單位制可以被視为一种獨特的單位制，因为這單位制不是基于任何[[物質]]或[[基本粒子]]的属性（[[質量]]，[[电荷]]，...，例如[[質子質量]]，[[电子質量]]与[[基本电荷]]），而是純粹從[[自由空間]]的属性推导出来的（[[真空光速]]，[[自由空間阻抗]]，[[約化普朗克常数]]，[[玻茲曼常数]]等自由空間的性質的自然常数，被歸一化）。

如同其他單位制，任何自然單位制的基本單位，必会包括[[长度]]、[[質量]]、[[時間]]、[[溫度]]与[[电荷]]的定义与数值（以[[SI制]]来說，[[物質的量]]（[[莫耳]]）的自然單位就用「個」（一個就是1）就可以了，不必用到「莫耳」，而[[发光強度]]（[[燭光]]）的自然單位就用「[[瓦特]]/[[立弳]]」就可以了，因为這兩者的比值僅为[[发光效率]]，而发光效率是沒有單位因次的，就跟[[角度]]（[[弳]]）以及[[精細結构常数]]一样，另外电荷的部分，雖然SI制的基本單位是[[电流]]而非[[电荷]]，但是实际上，电荷才是更基本的單位（就好比[[重力米制]]的基本單位是[[力]]而非[[質量]]，但是实际上，質量才是更基本的單位））。有些物理学者不認为溫度是基本單位，因为溫度表达为[[粒子]]的[[能量]]每[[自由度]]，這可以以能量（或質量、长度、時間）来表达。雖然如此，幾乎每一种自然單位制都会将[[波茲曼常数]]歸一化：<math>k_B=1</math> 。這可以简單地視为一种溫度定义方法。另外对于[[电量]]的部分，在[[国际單位制]]內，电量是用一种特別的基本量纲来計量。但在自然單位制內，电量則是以質量、长度、時間的機械單位来表达（会把[[电常数]]或者[[库侖常数]]歸一化）。這与[[厘米-克-秒制]]雷同。

自然單位制又可分为兩类，「有理化單位制」与「非理化單位制」<ref name=Littlejohn>{{cite web | url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/notes/emunits.pdf | format=pdf | title=Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory | work=Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes | author=Littlejohn, Robert | date=Fall 2007 | accessdate=2008-05-06 }}</ref><ref name=Kowalski>Kowalski, Ludwik, 1986, "[http://alpha.montclair.edu/~kowalskiL/SI/SI_PAGE.HTML A Short History of the SI Units in Electricity,] " ''The Physics Teacher'' 24(2): 97-99. [http://dx.doi.org/10.1119/1.2341955 Alternate web link (subscription required)]</ref>。在有理化單位制內，例如，[[劳侖茲-黑维塞單位制]]（{{lang|en|Lorentz-Heaviside units}}），[[马克士威方程組]]裏沒有因子 <math>4\pi</math> ，但是，[[库侖定律]]和[[必欧-沙伐定律]]的方程式裏，都含有因子 <math>4\pi</math> ；而在非理化單位制內，例如，[[高斯單位制]]，則完全相反，马克士威方程組裏含有因子 <math>4\pi</math> ，但是，库侖定律和必欧-沙伐定律的方程式裏，都沒有因子 <math>4\pi</math> 。

== 标記与使用方法 ==

自然單位制最常见的定义法是規定某物理常数的数值为1。例如，很多自然單位制会定义[[光速]] <math>c=1</math> 。假設速度 <math>v</math> 是光速的一半，則從方程式 <math>v=c/2</math> 与 <math>c=1</math> ，可以得到方程式 <math>v=1/2</math> 。這方程式的含意为，採用自然單位制，測量得到的速度 <math>v</math> 的数值为 <math>1/2</math> ，或速度 <math>v</math> 是自然單位制的單位速度的一半。

方程式 <math>c=1</math> 可以被代入任意方程式。例如，[[爱因斯坦方程式]] <math>E=mc^2</math> 可以重寫为採用自然單位制的 <math>E=m</math> 。這方程式的意思为，粒子的靜能量，採用自然單位制的能量單位，等于粒子的靜質量，採用自然單位制的質量單位。

== 優点与缺点分析 ==

与国际單位制或其它單位制比較，自然單位制有優点，也有缺点：

* '''简化方程式'''：藉著規定基礎物理常数为1，含有這些常数的方程式会顯得更为简潔，大多時候会更容易了解。例如，在狹义相对论裏，能量与动量的关係式 <math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math> 似乎相當冗长，而 <math>E^2=p^2+m^2</math> 顯得简單多了。

* '''物理詮釋'''：自然單位制已經自动具備了[[量纲分析]]功能。例如，在[[普朗克單位制]]的定义中，已經囊括了[[量子力学]]和[[广义相对论]]的一些性質。大約在[[普朗克长度]]的尺度，[[量子重力]]效应絕非湊巧地会開始變得重要。同样地，在設計[[原子單位制]]時，已經考慮到[[电子]]的質量与电量。因此，描述[[氫原子]]电子軌域的[[波耳半徑]]理所當然地成为原子單位制的长度單位。

* '''不需原器'''：「原器」（{{lang|en|prototype}}）是一种用来定义單位的真实物体，例如[[国际千克原器]]（{{lang|en|International Prototype Kilogram}}）是一塊存放于法国国际計量局的鉑銥合金圓柱体，其質量定义为1公斤。依賴原器有很多缺点：不可能实际复製出完全一样的原器，真实物体会遭受腐蝕損坏，核对質量必需亲自到法国跑一趟。自然單位制不需要参照到原器，自然就不会被這些缺点拖累。不過，2018年通过的新版国际單位制已經不需要原器了。

* '''計量精密度較低'''：當初設計国际單位制時，一個主要目标是能夠適用于精密測量。例如，因为這[[躍遷]][[頻率]]可以用[[原子鐘]]科技来精密复製，時間單位秒是使用[[銫|銫原子]]的原子躍遷頻率来定义。自然單位制通常不是基于可以在实驗室精密复製的物理量。所以，自然單位制的基本單位所具有的精密位数会低于国际單位制。例如，普朗克單位制所使用的[[重力常数]] <math>G</math> ，在实驗室裏只能測量至4個[[有效数字]]。

* '''意义過于籠統'''：設想採用普朗克單位制的方程式 <math>a=10^{10}</math> 。假若 <math>a</math> 代表长度，則這方程式的含意是 <math>a=1.6\times 10^{-25}\rm{m}</math> ；可是假若 <math>a</math> 代表質量，則這方程式的含意是 <math>a=22 0\rm{kg}</math> 。{{fact|1=（因此最好要寫<math>a=10^{10}l_P</math>或者<math>a=10^{10}m_P</math>之类的）}}所以，假若變数 <math>a</math> 缺乏明確定义，則這方程式很有可能被誤解。明顯不同地，採用国际單位制，对于方程式 <math>a=10^{10}</math> ，假若 <math>a</math> 代表长度，則這方程式的含意是 <math>a=10^{10}\rm{m}</math> ；假若 <math>a</math> 代表質量，則這方程式的含意是 <math>a=10^{10}\rm{kg}</math> 。從另一個角度来看，物理学者有時候会故意利用到這籠統性質。這時，自然單位制顯得特別有用。例如，在[[狹义相对论]]裏，時間与空間的关係非常密切，假若，能夠不区分某變数所代表的是時間還是空間，或者，使用同一個向量變数就可以一起代表時間与空間，這添加的功能会带給理论学者很大的便利。

== 基礎物理常数候选名單 ==

以下列出所有可以成为基本單位的基礎物理常数候选名單。注意到在任何單位系統內，为了不致造成定义衝突，只有一小部分的基礎物理常数可以被歸一化。例如，电子質量<math>m_e</math>与質子質量<math>m_p</math> 不能同時被歸一化。

! 基礎物理常数

| style="border-left:0px; border-right:0px;" | [[時間|T]]⁻¹

| style="border-left:0px; border-right:0px;" | [[質量|M]]

| [[自由空間阻抗]]

| [[萬有引力常数]]

| [[約化普朗克常数]]（狄拉克常数）

| style="border-left:0px;" | [[溫度|Θ]]⁻¹

| [[电子|电子質量]]

| [[質子|質子質量]]

只有具有量纲的物理常数才可以被选为基本單位，才可以被歸一化。无量纲的物理常数的数值不会因为單位系統的不同而改變。例如，[[精細結构常数]] <math>\alpha</math> 不具有量纲：

由于 <math>\alpha</math> 的数值不等于1，自然單位制{{Verify source|1=絕不能将 <math>\alpha</math> 的表达式內的四個物理常数 <math>e</math> 、 <math>\hbar</math> 、<math>c</math> 、<math>k_e</math> (=<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math>) 都歸一化}}。最多只能将其中三個物理常数歸一化。剩下的物理常数的数值必須規定为能夠使得 <math> \alpha = \frac{1}{137.035999074}</math> 。{{fact|1=（[[普朗克單位制]]将<math>e</math>以外的另外三個物理常数都定为1，[[史东纳單位制]]将<math>\hbar</math>以外的另外三個物理常数都定为1，[[哈特里原子單位制]]将<math>c</math>以外的另外三個物理常数都定为1，[[量子色动力学單位制]]将<math>k_e</math>以外的另外三個物理常数都定为1）}}

== 自然單位制總览 ==

=== 普朗克單位制 ===

{{Main|普朗克單位制}}

! 公制数值<ref name="CODATA">[http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt NIST 的基礎物理常数]</ref>

| [[質量]] (M)

| [[時間]] (T)

| [[溫度]] (Θ)

普朗克單位制是一种獨特的自然單位制，因为普朗克單位制不是以任何原器、物体、或甚至[[基本粒子]]定义。普朗克單位制只以物理定律的基本結构参数为歸一化对向。<math>c</math> 、<math>G</math> 涉及[[广义相对论]]的[[時空]]結构。<math>\hbar</math> 捕捉了，在[[量子力学]]裏，[[能量]]与[[頻率]]之間的关係。這些細节使得普朗克單位制特別有用与常见于[[量子重力|量子重力理论]]或[[弦理论]]的研究。

有些学者認为普朗克單位制比其它自然單位制更为自然。例如，有些其它自然單位制使用电子質量为基本單位。但是电子只是許多种已知具有質量的基本粒子之一。這些粒子的質量都不一样。在基礎物理学裏，并沒有任何絕对因素，促使选擇电子質量为基本單位，而不选擇其它粒子質量。

=== “自然單位制”（粒子物理学） ===

! 基本單位

| 1 eV 質量

| 1 eV⁻¹ 時間

| 1 單位电荷 <br /> （有理性）

| 1 eV 溫度

在[[粒子物理学]]裏，术语「自然單位」一般指的是<ref>''Gauge field theories: an introduction with applications'', by Guidry, Appendix A</ref><ref name=DT>''An introduction to cosmology and particle physics'', by Domínguez-Tenreiro and Quirós, p422</ref>

但這尚未能制定一個單位系統。下一步，必需補足电荷量的定义。這有兩种可能：

* '''有理化（劳侖茲-黑维塞單位制）'''

* '''非理化（高斯單位制）'''

在有理化單位制內，例如，[[劳侖茲-黑维塞單位制]]（{{lang|en|Lorentz-Heaviside units}}），[[马克士威方程組]]裏沒有因子 <math>4\pi</math> ，但是，[[库侖定律]]和[[必欧-沙伐定律]]的方程式裏，都含有因子 <math>4\pi</math> ；而在非理化單位制內，例如，[[高斯單位制]]，則完全相反，马克士威方程組裏含有因子 <math>4\pi</math> ，但是，库侖定律和必欧-沙伐定律的方程式裏，都沒有因子 <math>4\pi</math> 。很多高深物理文獻都採用高斯單位制，但是粒子物理学者比較喜用劳侖茲-黑维塞單位制<ref name="Griffiths2008">{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Elementary Particles (2nd ed.) | publisher=Wiley-VCH |year=2008|pages=9 |isbn= 978-3527406012 }}</ref>。

兩种單位制的基本电荷数值分別为

:高斯單位制：<math> e = \sqrt{\alpha}\approx 0.08542</math> 、

:劳侖茲-黑维塞單位制：<math> e = \sqrt{4\pi\alpha}\approx 0.3028</math> 。

最后，還需要一個基本單位。通常，会設定[[电子伏特]]（eV）为基本單位，雖然這不是一個前面所述的“自然常数”{{fact|1=（如果是設定[[萬有引力常数]]<math>G</math>为基本單位，則兩种粒子物理学單位与兩种普朗克單位将完全相同，但是因为萬有引力常数沒辦法在实驗中測得高精確度，所以不使用）}}。有時候，会設定keV、MeV或GeV为基本單位。

在設定完畢基本單位之后，任意物理量都可以以這些基本單位表示。例如，长度 <math>1\, \text{cm}</math> 可以表示为<ref name=DT/>

=== 史东纳單位制 ===

{{main|史东纳單位制}}

| [[質量]] (M)

| [[時間]] (T)

| [[溫度]] (Θ)

史东纳單位制定义的物理常数为

其中，<math>\alpha</math> 是[[精細結构常数]]。

[[乔治·史东纳]] （{{lang|en|George Stoney}}）是第一位提出自然單位制的物理学者。1874年，他在[[不列颠科学协会]]（{{lang|en|British Association of Science}}）发表了一篇演講，名为"论大自然的物理單位"<ref>{{cite journal | last=Ray | first = T.P. | year=1981 | title=Stoney's Fundamental Units | journal=Irish Astronomical Journal | volume=15 | url=http://adsabs.harvard.edu/full/1981IrAJ...15..152R|page=152}}</ref>。史东纳單位制沒有規定約化普朗克常数为1，而是規定基本电荷为1，因为約化普朗克常数是在史东纳的提议之后（1900年）发現的。這是史东纳單位制与普朗克單位制之間唯一不同之处。

史东纳單位制极具歷史意义。但在現代物理学裏，遇到這單位制的機会微乎其微。

=== 原子單位制 ===

{{Main|原子單位制}}

! 表达式<br />（哈特里原子單位制）

| [[質量]] (M)

| [[時間]] (T)

| [[溫度]] (Θ)

原子單位制又分为兩种：由[[道格拉斯·哈特里]]提出的哈特里原子單位制和由[[約翰內斯·芮得柏]]提出的芮得柏原子單位制。哈特里原子單位制比芮得柏原子單位制常见。兩者的主要区別在于質量單位与电荷單位的选取。哈特里原子單位制的基本單位为<ref>{{cite book|last=Drake|first=Gordon W. F.|title=Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics|url=https://archive.org/details/springerhandbook00drak_205|year=2006|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=978-0387208022|page=[https://archive.org/details/springerhandbook00drak_205/page/n58 5]}}</ref>

芮得柏原子單位制的基本單位为<ref>{{Citation

這些單位制是特別为了简易表达[[原子物理学]]和[[分子物理学]]的方程式而精心設計，特別能夠表徵处于[[氫原子]][[基態]]的电子的物理行为。例如，採用哈特里原子單位制，对于氫原子的[[波耳模型]]，处于[[基態]]的电子，其軌域速度为 <math>v=1</math> ，軌域半徑为 <math>r=1</math> ，[[角动量]]为 <math>\ell=1</math> ，[[电离能]]为 <math>E=1/2</math> 等等。

哈特里原子單位制与芮得柏原子單位制的能量單位分別称为哈特里能量与芮得柏能量。它們相差的因子为2。光速的速值比較大（分別为137 与 274），這是因为在束縛于氫原子內部的电子的速度超慢于光速。由于兩個电子之間的[[重力]]超弱于[[库侖力]]，[[重力常数]]的数值极小。长度單位是[[波耳半徑]] <math>a_0</math>

=== 量子色动力学單位制 ===

| [[質量]] (M)

| [[時間]] (T)

| [[溫度]] (Θ)

「量子色动力学單位制」简称为「強單位制」（{{lang|en|strong units}}）。在強單位制內，电子質量被質子質量替代。強單位制適用于[[量子色动力学]]与[[核子物理学]]。在這裏，到处都是量子力学与相对论的理论，而[[質子]]正是研究焦点<ref>Wilczek, Frank, 2007, "[http://frankwilczek.com/Wilczek_Easy_Pieces/416_Fundamental_Constants.pdf Fundamental Constants,] " ''Frank Wilczek'' web site.</ref>。

也有些量子色动力学單位制不把<math>e</math>定为1，而把<math>\epsilon_0</math>或者<math>k_e=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math>定为1（此時，基本电荷<math>e</math>的值則会跟普朗克單位制或者原子單位制一样）。

=== 幾何化單位制 ===

{{Main|幾何化單位制}}

幾何化單位制（{{lang|en|geometrized unit system}}）不是一种完全定义或唯一的單位制。在這單位制內，只規定光速与重力常数为1。這留出足夠空間来規定其它常数，像[[波茲曼常数]]或[[库侖定律|库侖常数]]：

假若約化普朗克常数也規定为 <math> \hbar = 1</math>，則幾何化單位制与普朗克單位制完全相同。

{{fact|1=另外，我們也可以不定义库侖常数为1，而改定义更自然的[[电常数]]<math>\epsilon_0</math>为1，此時，库侖常数就会變成<math>\frac{1}{4 \pi}</math>，這是比較自然的有理化幾何單位制，而如果是定义库侖常数为1，則是非理化的幾何單位制。（我們通常会选擇比較自然的常数定义为1，例如我們不会把原始的[[普朗克常数]]<math>h</math>定义为1，而是会把[[約化普朗克常数]]<math>\hbar</math>定义为1，因为約化普朗克常数比較自然（[[角頻率]]<math>\omega</math>比[[頻率]]<math>f</math>自然），而由于在[[广义相对论]]中，<math>G</math>經常会与<math>4 \pi</math>合併<ref group="註">注意在這個單位制中，库侖常数的值是<math>\frac{1}{4\pi}</math>，因此，如果把萬有引力常数也定为<math>\frac{1}{4\pi}</math>，則库侖定律（計算兩個'''点电荷'''的吸引力或排斥力）跟萬有引力定律（計算兩個'''質点'''的吸引力）的公式剛好相同</ref>，因此，更自然的幾何化單位制是把<math> 4 \pi G</math>，而不是<math>G</math>，定义为1），此种幾何化單位制就是有理化的普朗克單位制（因此，称做'''約化普朗克單位制'''，例如約化[[普朗克能量]]）（就好比劳伦茲-黑维塞單位制就是有理化的粒子物理学單位制，原本的普朗克單位制，以及高斯單位制，則是非理化的），也就是把萬有引力常数G，以及库侖常数k_e，定为<math>\frac{1}{4\pi}</math>，而非1。（而光速c，約化普朗克常数<math>\hbar</math>，以及波茲曼常数k_B，則仍然定为1）}}

== 總結表格 ==

! rowspan="2" {{diagonal split header|物理量|單位制}}

! colspan="2"|[[普朗克單位|普朗克]]

! rowspan="2"|[[史东纳單位|史东纳]]

! colspan="2"|[[原子單位|原子]]

! colspan="2"|「自然」

! [[劳侖茲-黑维塞單位制|有理化]]

! [[高斯單位制|非理化]]

! [[劳侖茲-黑维塞單位制|有理化]]

! [[高斯單位制|非理化]]

! [[劳侖茲-黑维塞單位制|有理化]]

! [[高斯單位制|非理化]]

|[[約化普朗克常数]] <br> <math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math>

|[[自由空間阻抗]] <br> <math>Z_0 = \frac{1}{\epsilon_0 c} = \mu_0 c \,</math>

|[[萬有引力常数]] <br> <math>G \,</math>

|[[質子質量]] <br> <math>m_\text{p} \,</math>

|[[电子質量]] <br> <math>m_\text{e} \,</math>

|[[磁通量量子|約瑟夫森常数]] <br> <math>K_\text{J} =\frac{e}{\pi \hbar} \,</math>

* <math>\alpha</math> 是[[精細結构常数]]，7.2973525376{{e|-3}} = (137.035999679)⁻¹，

* <math>\mu</math> 是{{link-en|質子电子質量比|proton-to-electron mass ratio}}，大約为1836.15267247.

* [[天文單位]]

* [[人擇單位制]]（{{lang|en|anthropic units}}）

* [[計量單位]]

* [[N体單位制]]（{{lang|en|N-body units}}）

== 註解 ==

{{reflist|group="註"}}

{{reflist|2}}

* 美国国家标準与科技研究院網頁：[http://physics.nist.gov/cuu/ 物理常数、單位、不確定度] ，有很多关于常见的物理常数的資料。

{{量度系統}}

[[Category:自然單位|*]]