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{{NoteTA|G1=物理 |
{{NoteTA|G1=物理学}} |
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在[[ |
在[[数学]]裏,給予一个定义于[[内积空间]]的[[函数]],假若对于任意[[旋转]],函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为'''旋转不变性'''(rotational invariance),或'''旋转对称性'''(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数 <math>f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2</math> 的数值保持不变,因此,函数 <math>f(x,\,y,\,z)</math> 对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。 |
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在物理 |
在物理学裏,假若物理系统的性质跟它在空间的[[取向]]无关,则这系统具有旋转不变性。根据[[诺特定理]],假若物理系统的[[作用量]]具有旋转不变性,则[[角动量守恒]]。 |
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根 |
根据物理学家多年来仔細研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性<ref>{{Citation|last =古斯|first=阿兰||title=The Inflationary Universe| publisher=Basic Books|year=1998|pages=pp.340|isbn=978-0201328400}}</ref>。 |
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== 球 |
== 球对称位势范例 == |
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=== 哈密 |
=== 哈密顿算符的旋转不变性 === |
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假 |
假设一个量子系统的位势为[[球对称位势]] <math>V(r)</math> ,其哈密顿算符 <math>H</math> 可以表示为 |
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:<math>H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math> ; |
:<math>H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math> ; |
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其中,<math>\hbar</math> 是[[ |
其中,<math>\hbar</math> 是[[约化普朗克常数]],<math>m</math> 是质量,<math>r</math> 是径向距离。 |
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现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴 <math>\theta</math> 角弧,则新直角坐标 <math>\mathbf{r}'=(x',\,y',\,z')</math> 与旧直角坐标的关系式为 |
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:<math>x'=x\cos\theta - y\sin\theta</math> 、 |
:<math>x'=x\cos\theta - y\sin\theta</math> 、 |
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:<math>y'=x\sin\theta+y\cos\theta</math> 、 |
:<math>y'=x\sin\theta+y\cos\theta</math> 、 |
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:<math>z'=z</math> 。 |
:<math>z'=z</math> 。 |
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偏 |
偏导数为 |
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:<math>\frac{\partial}{\partial x'}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、 |
:<math>\frac{\partial}{\partial x'}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、 |
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:<math>\frac{\partial}{\partial y'}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial x} +\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、 |
:<math>\frac{\partial}{\partial y'}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial x} +\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、 |
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:<math>\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}</math> 。 |
:<math>\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}</math> 。 |
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那 |
那么,导数项目具有旋转不变性: |
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:<math>\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2</math> 。 |
:<math>\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2</math> 。 |
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由 |
由于径向距离具有旋转不变性: |
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:<math>r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r</math> , |
:<math>r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r</math> , |
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旋 |
旋转之后,新的哈密顿算符 <math>H'</math> 是 |
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:<math>H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H</math> 。 |
:<math>H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H</math> 。 |
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所以,[[球 |
所以,[[球对称位势]]量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。 |
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=== 角 |
=== 角动量守恒 === |
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假 |
假设一个量子系统的位势为[[球对称位势]] <math>V(r)</math> ,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 <math>R</math> 为一个对于 z-轴的[[斜对称矩阵#无穷小旋转|无窮小旋转]] <math>\delta\theta</math> 。则[[正弦函数]]与[[餘弦函数]]可以分别近似为 |
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:<math>\sin\delta\theta\approx\delta\theta</math> 、 |
:<math>\sin\delta\theta\approx\delta\theta</math> 、 |
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:<math>\cos\delta\theta\approx 1</math> 。 |
:<math>\cos\delta\theta\approx 1</math> 。 |
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新直角坐 |
新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为 |
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:<math>x'\approx x - y\delta\theta</math> 、 |
:<math>x'\approx x - y\delta\theta</math> 、 |
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:<math>y'\approx x\delta\theta+y</math> 、 |
:<math>y'\approx x\delta\theta+y</math> 、 |
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:<math>z'=z</math> 。 |
:<math>z'=z</math> 。 |
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将 <math>R</math> 作用于波函数 <math>\psi(x,\,y,\,z)</math> , |
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:<math>R\psi(x,\,y,\,z)=\psi(x',\,y',\,z')\approx \psi(x,\,y,\,z)+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z \psi(x,\,y,\,z) </math> ; |
:<math>R\psi(x,\,y,\,z)=\psi(x',\,y',\,z')\approx \psi(x,\,y,\,z)+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z \psi(x,\,y,\,z) </math> ; |
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其中,<math>L_z</math> 是角 |
其中,<math>L_z</math> 是角动量的 z-分量,<math>L_z=xp_y - yp_x= - i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)</math> 。 |
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所以,旋 |
所以,旋转算符 <math>R</math> 可以表达为 |
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:<math>R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z</math> 。 |
:<math>R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z</math> 。 |
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假 |
假设 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 是哈密顿算符的能级[[本征态]],则 |
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:<math>H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})</math> 。 |
:<math>H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})</math> 。 |
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由 |
由于 <math>\mathbf{r}</math> 只是一个虚设变数, |
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:<math>H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。 |
:<math>H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。 |
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在做一 |
在做一个微小旋转之后, |
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:<math>RH\psi_E(\mathbf{r})=RE\psi_E(\mathbf{r})=ER\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 、 |
:<math>RH\psi_E(\mathbf{r})=RE\psi_E(\mathbf{r})=ER\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 、 |
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:<math>HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。 |
:<math>HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。 |
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所以,<math>(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0</math> 。哈密 |
所以,<math>(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0</math> 。哈密顿算符的能级本征态 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 形成一组[[完备集]] ({{lang|en|complete set}}),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是 |
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:<math>[R,\,H]=0</math> 。 |
:<math>[R,\,H]=0</math> 。 |
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第68行: | 第68行: | ||
:<math>[L_z,\,H]=0</math> 。 |
:<math>[L_z,\,H]=0</math> 。 |
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根 |
根据[[埃伦费斯特定理]],<math>L_z</math> 的[[期望值]]对于时间的导数是 |
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:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [L_z,\,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。 |
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [L_z,\,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。 |
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第74行: | 第74行: | ||
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=\left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。 |
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=\left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。 |
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由 |
由于 <math>L_z</math> 显性地不含时间, |
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:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=0</math> 。 |
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=0</math> 。 |
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总结,<math>\langle L_z \rangle</math> 不含时间,<math>L_z </math> 是个[[运动常数]]。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。 |
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== |
== 参閱 == |
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* [[各向同性]] |
* [[各向同性]] |
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* [[ |
* [[轴对称]] |
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* [[明 |
* [[明显对称性破缺]] |
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* [[ |
* [[马克士威定理]] ({{lang|en|Maxwell's theorem}}) |
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== |
== 参考文献 == |
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{{reflist}} |
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<references /> |
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* {{cite book | author=Gasiorowics, Stephen|title=Quantum Physics (3rd ed.) | publisher=Wiley|year=2003 |isbn=978-0471057000}} |
* {{cite book | author=Gasiorowics, Stephen|title=Quantum Physics (3rd ed.) | publisher=Wiley|year=2003 |isbn=978-0471057000}} |
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* Stenger, Victor J. (2000). ''Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes''. Prometheus Books. 特 |
* Stenger, Victor J. (2000). ''Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes''. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。 |
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[[Category:守 |
[[Category:守恒定律|X]] |