旋轉不變性：修订间差异

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在物理学裏，假若物理系统的性质跟它在空间的[[取向]]无关，则这系统具有旋转不变性。根据[[诺特定理]]，假若物理系统的[[作用量]]具有旋转不变性，则[[角动量守恒]]。
在物理学裏，假若物理系统的性质跟它在空间的[[取向]]无关，则这系统具有旋转不变性。根据[[诺特定理]]，假若物理系统的[[作用量]]具有旋转不变性，则[[角动量守恒]]。


根据物理学家多年来仔細研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性<ref>{{Citation|last =古斯|first=阿兰|author-link=阿兰·古斯|title=The Inflationary Universe| publisher=Basic Books|year=1998|pages=pp.340|isbn=978-0201328400}}</ref>。
根据物理学家多年来仔細研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性<ref>{{Citation|last =古斯|first=阿兰||title=The Inflationary Universe| publisher=Basic Books|year=1998|pages=pp.340|isbn=978-0201328400}}</ref>。


== 球对称位勢范例 ==
== 球对称位势范例 ==
=== 哈密顿算符的旋转不变性 ===
=== 哈密顿算符的旋转不变性 ===
假设一个量子系统的位勢为[[球对称位勢]] <math>V(r)</math> ，其哈密顿算符 <math>H</math> 可以表示为
假设一个量子系统的位势为[[球对称位势]] <math>V(r)</math> ，其哈密顿算符 <math>H</math> 可以表示为
:<math>H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math> ；
:<math>H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math> ；


第23行： 第23行：
:<math>\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}</math> 。
:<math>\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}</math> 。


那麼，导数项目具有旋转不变性：
那么，导数项目具有旋转不变性：
:<math>\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2</math> 。
:<math>\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2</math> 。


第32行： 第32行：
:<math>H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H</math> 。
:<math>H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H</math> 。


所以，[[球对称位勢]]量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。
所以，[[球对称位势]]量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。


=== 角动量守恒 ===
=== 角动量守恒 ===
假设一个量子系统的位勢为[[球对称位勢]] <math>V(r)</math> ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 <math>R</math> 为一个对于 z-轴的[[斜对称矩阵#无穷小旋转|无窮小旋转]] <math>\delta\theta</math> 。则[[正弦函数]]与[[餘弦函数]]可以分别近似为
假设一个量子系统的位势为[[球对称位势]] <math>V(r)</math> ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 <math>R</math> 为一个对于 z-轴的[[斜对称矩阵#无穷小旋转|无窮小旋转]] <math>\delta\theta</math> 。则[[正弦函数]]与[[餘弦函数]]可以分别近似为
:<math>\sin\delta\theta\approx\delta\theta</math> 、
:<math>\sin\delta\theta\approx\delta\theta</math> 、
:<math>\cos\delta\theta\approx 1</math> 。
:<math>\cos\delta\theta\approx 1</math> 。
第52行： 第52行：
:<math>R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z</math> 。
:<math>R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z</math> 。


假设 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 是哈密顿算符的能级[[本徵态]]，则
假设 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 是哈密顿算符的能级[[本征态]]，则
:<math>H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})</math> 。
:<math>H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})</math> 。


第62行： 第62行：
:<math>HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。
:<math>HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。


所以，<math>(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0</math> 。哈密顿算符的能级本徵态 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 形成一组[[完备集]] ({{lang|en|complete set}})，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是
所以，<math>(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0</math> 。哈密顿算符的能级本征态 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 形成一组[[完备集]] ({{lang|en|complete set}})，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是
:<math>[R,\,H]=0</math> 。
:<math>[R,\,H]=0</math> 。


第86行： 第86行：


== 参考文献 ==
== 参考文献 ==
{{reflist}}
<references />
* {{cite book | author=Gasiorowics, Stephen|title=Quantum Physics (3rd ed.) | publisher=Wiley|year=2003 |isbn=978-0471057000}}
* {{cite book | author=Gasiorowics, Stephen|title=Quantum Physics (3rd ed.) | publisher=Wiley|year=2003 |isbn=978-0471057000}}
* Stenger, Victor J. (2000). ''Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes''. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。
* Stenger, Victor J. (2000). ''Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes''. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。
取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/旋轉不變性”