方程：修订间差异 - 求闻百科，共笔求闻

（未显示同一用户的1个中间版本）

下文是求闻百科的历史内容，而非最新内容，不代表求闻百科的立场。
若历史内容含有不良信息，请点此报告；参见投诉举报处理方针。

第1行：

{{NoteTA

|G1 = Math

}}

[[File:First Equation Ever.png|缩略图|400px|第一个用等式表示的方程，以现在的表示法为<math>14x + 15 = 71</math><ref>''The Whetstone of Witte'', Robert Recorde 1557</ref>]]

[[File:First Equation Ever.png|缩略图|400px|第一個用等式表示的方程，以現在的表示法為<math>14x + 15 = 71</math><ref>''The Whetstone of Witte'', Robert Recorde 1557</ref>]]

数学中'''方程'''可以简单的理解为含有[[未知数]]的[[等式]]。例如以下的方程：

:<math>3x+3=2</math>

其中的<math>x</math>为[[未知数]]。

其中的<math>x</math>為[[未知數]]。

如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个数到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。

如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个數到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。

求出方程的解或说明方程无解这一过程叫做[[解方程]]。可以用方程的解的存在状况为方程分类，例如，'''[[恒等式]]'''即恒成立的方程，例如<math>(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4</math>，在所指定的某个集合（比如[[复数 (数学)|复数]]集）中的全部元素都是它的解；'''[[矛盾式]]'''即矛盾的方程，如<math>x + 1 = x</math>，在所指定的某个集合（比如复数集）中没有元素满足这个等式。

等式中的[[等号]]则是16世纪英国科学教育家{{link-en|罗伯特·雷科德|Robert Recorde}}发明。

等式中的[[等號]]則是16世紀英國科學教育家{{link-en|羅伯特·雷科德|Robert Recorde}}發明。

== “-{方程}-”一词的来历 ==

== 「-{方程}-」一詞的來歷 ==

-{方程}-一词出现在中国早期的~~数学专~~著《[[九章算术]]》中<ref>{{Cite web |url=http://www.chiculture.net/0803/html/c61/0803c61.html |title=-{方程}-术 |accessdate=2014-01-08 |work=中国古代数学 |publisher=中国文化研究院}}</ref>，其“卷第八”即名“-{方程}-”。卷第八（一）为：

-{方程}-一詞出現在中國早期的數學專著《[[九章算術]]》中<ref>{{Cite web |url=http://www.chiculture.net/0803/html/c61/0803c61.html |title=-{方程}-術 |accessdate=2014-01-08 |work=中國古代數學 |publisher=中國文化研究院}}</ref>，其「卷第八」即名「-{方程}-」。卷第八（一）爲：

{{quote|

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：

第29行：

下禾一秉，二斗、四分斗之三。

'''-{方程}-'''术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

'''-{方程}-'''術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

}}

翻成白话即为：

翻成白話即為：

现在这裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？

現在這裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？

其“-{方程}-术”用阿拉伯数字表示即为：

其「-{方程}-術」用阿拉伯數字表示即為：

<math>

第47行：

</math>

《九章算术》采用[[直除法]]即以一行首~~项系数~~乘另一行再对減消元来解方程。

《九章算術》採用[[直除法]]即以一行首項係數乘另一行再對減消元來解方程。

若设可打出黍的斗数分别为1捆上等黍<math>x\,</math>斗、1捆中等黍<math>y\,</math>斗、1捆下等黍<math>z\,</math>斗，可列方程组如下：

若設可打出黍的斗數分別為1捆上等黍<math>x\,</math>斗、1捆中等黍<math>y\,</math>斗、1捆下等黍<math>z\,</math>斗，可列方程組如下：

<math>

第69行：

</math>

由此可知，此时的“-{方程}-”指的是包含多个未知量的[[联立一次方程组|联立一次-{方程}-组]]，即现在的[[线性方程组|线性-{方程}-组]](直线方程式)。

由此可知，此時的「-{方程}-」指的是包含多個未知量的[[聯立一次方程組|聯立一次-{方程}-組]]，即現在的[[線性方程組|線性-{方程}-組]](直線方程式)。

到了魏晉时期，大数学家刘徽注《九章算术》时，給~~这种“~~-{方程}-”下的定义是：

到了魏晉時期，大數學家劉徽注《九章算術》時，給這種「-{方程}-」下的定義是：

{{quote|

程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故謂之方程。

程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實，令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。

}}

这裡所謂的“课程”指的是按不同物品的数量关系列出的式子。~~“实”~~就是式中的常数项。“令每行为率”，就是由一个条件列一行式子，橫列代表一个未知量。“如物数程之”，就是有几个未知数就必须列出几个等式。“方”的本义是并，~~将两条~~船并起来，船头拴在一起，謂之方。故而列出的一系列式子称“方程”。

這裡所謂的「課程」指的是按不同物品的數量關係列出的式子。「實」就是式中的常數項。「令每行為率」，就是由一個條件列一行式子，橫列代表一個未知量。「如物數程之」，就是有幾個未知數就必須列出幾個等式。「方」的本義是並，將兩條船並起來，船頭拴在一起，謂之方。故而列出的一系列式子稱「方程」。

== 已知数及未知数 ==

== 已知數及未知數 ==

方程常用来表示一些已知的量和未知的量之间的关系，前者称为已知数，后者称为未知数。一般表示未知数的符号会用英文字母最后的几个，如<math>x,y,z,w,\ldots</math>等，而已知数若以符号表示时，会用英文字母前面的几个，如<math>a,b,c,d,\ldots</math>等。将未知数用已知数来表示的过程称为[[解方程]]。若方程只有一个未知数，使方程成立的未知数数值称为方程的根或是解。方程组是由几个方程所组成，其中也有数个未知数，此时方程的解是一组未知数的值，使得所有方程均成立。

方程常用來表示一些已知的量和未知的量之間的關係，前者稱為已知數，後者稱為未知數。一般表示未知數的符號會用英文字母最後的幾個，如<math>x,y,z,w,\ldots</math>等，而已知數若以符號表示時，會用英文字母前面的幾個，如<math>a,b,c,d,\ldots</math>等。將未知數用已知數來表示的過程稱為[[解方程]]。若方程只有一個未知數，使方程成立的未知數數值稱為方程的根或是解。方程组是由幾個方程所組成，其中也有數個未知數，此時方程的解是一組未知數的值，使得所有方程均成立。

若方程的解可以由有限次常见运算的组合，这种解称为[[解析解]]，~~较复杂~~的方程式不一定可以找出解析解，或解析解根本不存在，但仍可以利用[[数值分析]]的方式解方程，此时得到的解~~称为数~~值解。

若方程的解可以由有限次常見運算的組合，這種解稱為[[解析解]]，較複雜的方程式不一定可以找出解析解，或解析解根本不存在，但仍可以利用[[數值分析]]的方式解方程，此時得到的解稱為數值解。

== 用天平来类比方程 ==

== 用天平來類比方程 ==

[[File:Equation illustration colour.svg|缩略图|用图像来类比方程，其中''x'', ''y'', ''z''~~为实数~~，用砝碼来类比]]

[[File:Equation illustration colour.svg|缩略图|用圖像來類比方程，其中''x'', ''y'', ''z''為實數，用砝碼來類比]]

[[天平]]或[[翘翘板]]可以用来类比方程。

[[天平]]或[[翹翹板]]可以用來類比方程。

天平的~~两边对应~~方程等号的两側，可以放不同的表示式数值。若天平两側平衡，表示等号两側的数值相等。若天平两側不平衡，此情形可以用[[不等式]]表示。

天平的兩邊對應方程等號的兩側，可以放不同的表示式數值。若天平兩側平衡，表示等號兩側的數值相等。若天平兩側不平衡，此情形可以用[[不等式]]表示。

在图示中，<math>x</math>，<math>y</math>和<math>z</math>都表示不同的量（例如[[实数]]），方程两側同加一~~数对应~~在天平两側加等重重物，同減一~~数对应~~在天平两側移去等重重物，只要等式成立，就表示二側的数值相等。

在圖示中，<math>x</math>，<math>y</math>和<math>z</math>都表示不同的量（例如[[實數]]），方程兩側同加一數對應在天平兩側加等重重物，同減一數對應在天平兩側移去等重重物，只要等式成立，就表示二側的數值相等。

== 方程组 ==

== 方程組 ==

[[方程组]]也~~称为联~~合方程式，是指两个或两个以上的方程式，一般也会有多个未知数。方程组的解是指一组未知数的值可以使~~这几个~~方程式同时成立。例如以下的系统

[[方程組]]也稱為聯合方程式，是指兩個或兩個以上的方程式，一般也會有多個未知數。方程組的解是指一組未知數的值可以使這幾個方程式同時成立。例如以下的系統

:<math>\begin{cases} 3x+5y=2

\\ 5x+8y=3

第106行：

</math>。

== 方程的种类 ==

== 方程的種類 ==

方程可以依其中用到的[[运算]]及未知数的条件加以分类，以下是一些重要的种类：

方程可以依其中用到的[[運算]]及未知數的條件加以分類，以下是一些重要的種類：

* [[代数方程]]是指只由已知数及未知数的代数运算组合的方程，包括整式方程、分式方程与根式方程。

* [[代數方程]]是指只由已知數及未知數的代數運算組合的方程，包括整式方程、分式方程与根式方程。

** 整式方程也称作多项式方程。整式方程还可以依多项式的次数，可細分为[[一次方程]]、[[二次方程]]等。

** 整式方程也稱作多項式方程。整式方程還可以依多項式的次數，可細分為[[一次方程]]、[[二次方程]]等。

** [[分式方程]]是指方程分母中至少含有一个未知数的方程。

第117行：

有理方程与无理方程统称“代数方程”。

* [[超越方程]]是指包含[[超越函数]]的方程<ref>{{cite book |author=周忠荣 |title=应用数学 |year=2005 |publisher=清华大学出版社有限公司 |location=北京 |isbn=7302112169 |~~url=http://books.google.com.tw/books?id=FVOpUUGIS4cC&pg=RA2-PA32&dq=%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%96%B9%E7%A8%8B#v=onepage&q=%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%96%B9%E7%A8%8B&f=false~~ |pages=p.89}}</ref>，也叫做“非代数方程”。

* [[超越方程]]是指包含[[超越函數]]的方程<ref>{{cite book |author=周忠荣 |title=应用数学 |year=2005 |publisher=清华大学出版社有限公司 |location=北京 |isbn=7302112169 ||pages=p.89}}</ref>，也叫做“非代数方程”。

* [[函数方程]]是指其中包含未知函数的方程。

* [[函数方程]]是指其中包含未知函數的方程。

** [[微分方程]]是指其中包含未知函数[[导数]]（或微分）的函数方程。

** [[微分方程]]是指其中包含未知函數[[導數]]（或微分）的函数方程。

** [[积分方程]]是指其中包含未知函数[[积分]]的函数方程。

** [[積分方程]]是指其中包含未知函數[[積分]]的函数方程。

** {{link-en|积分微分方程|integro-differential equation}}是指其中同时包含未知函数积分和导数（或微分）的函数方程。

** {{link-en|积分微分方程|integro-differential equation}}是指其中同時包含未知函數積分和導數（或微分）的函数方程。

* [[不定方程]]是其中未知数不只一组的方程。

* [[不定方程]]是其中未知數不只一組的方程。

** [[丟番图方程]]是其中未知数不只一组，但只允许是整数的方程。

** [[丟番圖方程]]是其中未知數不只一組，但只允許是整數的方程。

* [[差分方程]]是其中未知数为一[[数列]]的方程。

* [[差分方程]]是其中未知數為一[[數列]]的方程。

=== 整式方程 ===

整式方程为等式两边均为[[多项式]]的方程，若以<math>p

整式方程為等式兩邊均為[[多項式]]的方程，若以<math>p

</math>表示多项式，则以下的方程即为整式方程：

</math>表示多項式，則以下的方程即為整式方程：

: <math>p(x, y, z, ...) = 0</math>

多项式<math>p

多項式<math>p

</math>的零点即为代数方程的解，整式方程还可以依多项式的次数細分为[[一次方程]]、[[二次方程]]等。

</math>的零點即為代數方程的解，整式方程還可以依多項式的次數細分為[[一次方程]]、[[二次方程]]等。

[[四次方程]]及次数较低的一元整式方程，其所有根都可以用多项式系数的有限次的四则运算及开方来表示。为了解決高次方程的根能否用上述方式表示，引进[[伽罗瓦理论]]，也证明[[五次方程]]及更高次的方程无法用公式求解，这也是19世纪代数学的重大发现。

[[四次方程]]及次數較低的一元整式方程，其所有根都可以用多項式係數的有限次的四則運算及开方來表示。為了解決高次方程的根能否用上述方式表示，引進[[伽羅瓦理論]]，也證明[[五次方程]]及更高次的方程無法用公式求解，這也是19世紀代數學的重大發現。

数学史上许多重大的发现都和一元整式方程有关，例如~~边长为~~1的正方数，其对角~~线为无~~理数<math>\sqrt{2}</math>，也就是二次方程<math>x^2 = 2</math>的解。而在[[三次方程]]<math>x^3 + px + q = 0</math>的一个解可用以下公式求得

數學史上許多重大的發現都和一元整式方程有關，例如邊長為1的正方數，其對角線為無理數<math>\sqrt{2}</math>，也就是二次方程<math>x^2 = 2</math>的解。而在[[三次方程]]<math>x^3 + px + q = 0</math>的一個解可用以下公式求得

: <math>x = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}</math>

三次方程的计算过程中有时需要~~为负数开~~平方，因此需导入[[复数 (数学)|复数]]的概念及相关计算<ref>{{Cite web |url=http://www.nani.com.tw/nani/steacher/stdownload/sword/000/TSA000CAG0A_11.pdf |title=复数的源流|accessdate=2014-01-08 |publisher=南一网 |quote=Cardan就在处理~~这问题时~~，自然地引出复数，后来在求三次方程式的公式解时，他引进了更多的复数。}}</ref>。

三次方程的計算過程中有時需要為負數開平方，因此需導入[[复数 (数学)|复数]]的概念及相關計算<ref>{{Cite web |url=http://www.nani.com.tw/nani/steacher/stdownload/sword/000/TSA000CAG0A_11.pdf |title=複數的源流|accessdate=2014-01-08 |publisher=南一網 |quote=Cardan就在處理這問題時，自然地引出複數，後來在求三次方程式的公式解時，他引進了更多的複數。}}</ref>。

=== 函数方程 ===

=== 函數方程 ===

[[函数方程]]是指未知量为一[[函数]]的方程。常见的是方程中出现函数[[导数]]的[[微分方程]]，微分方程在物理学中有许多的应用，微分方程又可以分为[[常微分方程]]及[[偏微分方程]]。

[[函數方程]]是指未知量為一[[函數]]的方程。常見的是方程中出現函數[[導數]]的[[微分方程]]，微分方程在物理學中有許多的應用，微分方程又可以分為[[常微分方程]]及[[偏微分方程]]。

离散系统下的[[差分方程]]可以~~对应连续~~系统的[[微分方程]]。在[[数值分析]]中也会用[[差分方程]]来近似微分方程的解。

離散系統下的[[差分方程]]可以對應連續系統的[[微分方程]]。在[[數值分析]]中也會用[[差分方程]]來近似微分方程的解。

==== 函数方程解的种类 ====

==== 函數方程解的種類 ====

微分方程及差分方程的解，可以分为一般解（general solution）及奇解（singular solution）二种：

微分方程及差分方程的解，可以分為一般解（general solution）及奇解（singular solution）二種：

:一般解：微分方程或差分方程的一般解，是指解为一组函数，而这个函数之间的差异只在~~于称为~~[[积分常数]]的系数不同。一个n阶的常微分方程式，其一般解中会有n个积分常数，积分常数需依微分方程的初始条件或边界条件来決定。因此一般解是指函数中包括未定的积分常数的解。若将一般解的积分常数用特定数值代入，即可得到特殊解（particular solution）。因此一般解也可说是所有特殊解的总和<ref name="微分方程"/>。

:一般解：微分方程或差分方程的一般解，是指解為一組函數，而這個函數之間的差異只在於稱為[[積分常數]]的係數不同。一個n階的常微分方程式，其一般解中會有n個積分常數，積分常數需依微分方程的初始條件或邊界條件來決定。因此一般解是指函數中包括未定的積分常數的解。若將一般解的積分常數用特定數值代入，即可得到特殊解（particular solution）。因此一般解也可說是所有特殊解的總和<ref name="微分方程"/>。

:奇异解：奇异解是指也可满足微分方程或差分方程，但其解和一般解的通式不同的，称为奇解<ref name="微分方程">{{cite book |author=田光全 |title=微分方程|year=1998 |publisher=中央图书出版社 |isbn=9576373891|~~url=http://books.google.com.tw/books?id=399sV-YUZhYC&pg=PA6#v=onepage&q&f=false~~ |pages=p.6}}</ref>。

:奇異解：奇異解是指也可滿足微分方程或差分方程，但其解和一般解的通式不同的，稱為奇解<ref name="微分方程">{{cite book |author=田光全 |title=微分方程|year=1998 |publisher=中央圖書出版社 |isbn=9576373891||pages=p.6}}</ref>。

例如以下的[[克莱罗方程]]

例如以下的[[克萊羅方程]]

:<math>y = x\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2</math>

其一般解为

其一般解為

:<math>y = Cx - C^2</math>

而其奇解为

而其奇解為

:<math>y=\frac{x^2}{4}</math>

=== 不定方程和丟番图方程 ===

=== 不定方程和丟番圖方程 ===

[[不定方程]]是不止有一个解的方程式或方程组，例如<math>2x=y

[[不定方程]]是不止有一個解的方程式或方程組，例如<math>2x=y

</math>有无限多组解，就是一~~种简单~~的不定方程。

</math>有無限多組解，就是一種簡單的不定方程。

若不定方程中有多个未知数，有时其解可以用[[参数方程]]来表示。例如上式的解可以表示为以下的

若不定方程中有多個未知數，有時其解可以用[[參數方程]]來表示。例如上式的解可以表示為以下的

参数方程：

參數方程：

:<math>x = t, y = 2t \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.\,</math>

[[丟番图方程]]属于[[不定方程]]，是~~变数仅~~容许是[[整数]]的整~~数系数~~[[多项式]][[等式]]；即形式如<math>a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c</math>

[[丟番圖方程]]屬於[[不定方程]]，是變數僅容許是[[整數]]的整數係數[[多項式]][[等式]]；即形式如<math>a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c</math>

的等式，并且其中所有的<math>a_j</math>、<math>b_j</math>和<math>c</math>均是整数，若其中能找到一组整数解<math>m_1,m_2...m_n</math>者则称之有整数解。

的等式，並且其中所有的<math>a_j</math>、<math>b_j</math>和<math>c</math>均是整數，若其中能找到一組整數解<math>m_1,m_2...m_n</math>者則稱之有整數解。

丟番~~图问题~~一般可以有数条等式，其数目比未知数的数目少；丟番~~图问题~~要求找出对所有等式都成立的整数组合。用另一种语言来说，丟番~~图问题~~定义代数曲綫或者代数曲面，或更为一般的几何形，要求找出其中的柵格点。对丟番~~图问题~~的数学研究称为'''丟番图分析'''。綫性丟番图方程为綫性整~~数系数~~多项式等式，即此多项式为次数为0或1的单项式的和。

丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。用另一種語言來說，丟番圖問題定義代數曲綫或者代數曲面，或更爲一般的幾何形，要求找出其中的柵格點。對丟番圖問題的數學研究稱為'''丟番圖分析'''。綫性丟番圖方程爲綫性整數係數多項式等式，即此多項式爲次數爲0或1的單項式的和。

丟番图方程的名字来源于3世纪[[希腊]]数学家[[亚历山大城]]的[[丟番图]]<ref>{{Cite web |url=http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/3/3_23/3_23_1011.htm |title=对代数学的发展起了重要作用的丢番图|accessdate=2014-01-08 |work=数学博览馆|publisher=中国科学院数学与系统科学研究院}}</ref>，他曾对这些方程进行研究，并且是第一个将符号引入代数的数学家。

丟番圖方程的名字來源於3世紀[[希臘]]數學家[[亞歷山大城]]的[[丟番圖]]<ref>{{Cite web |url=http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/3/3_23/3_23_1011.htm |title=对代数学的发展起了重要作用的丢番图|accessdate=2014-01-08 |work=數學博覽館|publisher=中国科学院数学与系统科学研究院}}</ref>，他曾對這些方程進行研究，並且是第一個將符號引入代數的數學家。

关于丟番图方程的理论的形成和发展是二十世~~纪数学~~一个很重要的发展。丟番图方程的例子有[[贝祖等式]]、[[勾股定理]]的整数解、[[四平方和定理]]和[[费马最后定理]]等。

關於丟番圖方程的理論的形成和發展是二十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖方程的例子有[[貝祖等式]]、[[勾股定理]]的整數解、[[四平方和定理]]和[[費馬最後定理]]等。

== 性质 ==

== 性質 ==

对一方程进行以下的处理，处理后的方程和原方程会有相同的解：

對一方程進行以下的處理，處理後的方程和原方程會有相同的解：

# 在等式二边[[加]]任意的实数。

# 在等式二邊[[加]]任意的實數。

# 在等式二边[[減]]任意的实数。

# 在等式二邊[[減]]任意的實數。

# 在等式二边[[乘]]任意不为零的实数。

# 在等式二邊[[乘]]任意不為零的實數。

# 在等式二边[[除]]任意不为零的实数。

# 在等式二邊[[除]]任意不為零的實數。

# 可以将等式二边套用函数，等式二边需使用相同的函数，而且需确认套用函数后不会造成方程[[增根及減根|增根或減根]]的情形。例如方程<math>yx=x</math>有二个解：<math>y=1</math>（<math>x

# 可以將等式二邊套用函數，等式二邊需使用相同的函數，而且需確認套用函數後不會造成方程[[增根及減根|增根或減根]]的情形。例如方程<math>yx=x</math>有二個解：<math>y=1</math>（<math>x

</math>为任意值）及<math>x=0</math>（<math>y

</math>為任意值）及<math>x=0</math>（<math>y

</math>为任意值）。等式二边平方，方程变成<math>(xy)^2=x^2</math>，新的方程除了原来的解外，还多了一个解<math>y=-1</math>（<math>x

</math>為任意值）。等式二邊平方，方程變成<math>(xy)^2=x^2</math>，新的方程除了原來的解外，還多了一個解<math>y=-1</math>（<math>x

</math>为任意值）。

</math>為任意值）。

上述的性质1至4，表示在[[抽象代数]]中，方程是[[体 (数学)|体]]的一种[[同餘关系]]。

上述的性質1至4，表示在[[抽象代數]]中，方程是[[體 (數學)|體]]的一種[[同餘關係]]。

最常见可进行上述运算的数体是[[实数]]，不过若方程式的数体是[[自然数]]，则不能进行減法及除法的运算，因~~为会产~~生负数或非整数等不是自然数的数。若方程式的数体是[[整数]]，则不能进行除法的运算，但可以进行減法的运算。

最常見可進行上述運算的數體是[[實數]]，不過若方程式的數體是[[自然數]]，則不能進行減法及除法的運算，因為會產生負數或非整數等不是自然數的數。若方程式的數體是[[整數]]，則不能進行除法的運算，但可以進行減法的運算。

若一不是[[单射]]函数的函数套用在等式二边，原方程的解也是新方程的解，但新方程的解会比原方程多（即增根），新方程的用处较少，上述性质1、2和4是单射函数，性质3在不乘以0时也符合单射函数的条件，一些广义的乘积（如[[内积]]）就不是单射函数。

若一不是[[单射]]函數的函數套用在等式二邊，原方程的解也是新方程的解，但新方程的解會比原方程多（即增根），新方程的用處較少，上述性質1、2和4是单射函數，性質3在不乘以0時也符合单射函數的條件，一些廣義的乘積（如[[內積]]）就不是单射函數。

上述性质可以用在代数方程的求解。

上述性質可以用在代数方程的求解。

== 参考文献 ==

第211行：

* [[微分方程]]

* [[函数方程]]

* [[参数方程]]

* [[參數方程]]

* [[方程理论]]

* [[公式编辑器]]

* [[公式編輯器]]

* [[不等式]]

</div>

== 外部链接 ==

== 外部連結 ==

* [~~https://web.archive.org/web/20090816161008/~~http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Winplot]：通用的绘图器，可以绘制二维及三维方程的图及动画{{en}}

* [http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Winplot]：通用的繪圖器，可以繪製二維及三維方程的圖及動畫{{en}}

* [http://www.wessa.net/math.wasp Mathematical equation plotter] ：~~绘制数学~~方程的二维图形，计算积分，并在线上计算方程的解{{en}}

* [http://www.wessa.net/math.wasp Mathematical equation plotter] ：繪製數學方程的二維圖形，計算積分，並在線上計算方程的解{{en}}

* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotter] ：一个可以制作二个未知数（''x''和''y''）的方程或不等式解的pdf档或postscript图，而且可以下载{{en}}

* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotter] ：一個可以製作二個未知數（''x''和''y''）的方程或不等式解的pdf檔或postscript圖，而且可以下載{{en}}

* [http://eqworld.ipmnet.ru/ EqWorld] ：包括许多数学方程解的资讯{{en}}

* [http://eqworld.ipmnet.ru/ EqWorld] ：包括許多數學方程解的資訊{{en}}

* [http://www.numberz.co.uk/ES.html EquationSolver] ：求解方程及线性方程组的网頁{{en}}

* [http://www.numberz.co.uk/ES.html EquationSolver] ：求解方程及線性方程組的網頁{{en}}

[[Category:方程| ]]

@@ 第1行： / 第1行： @@
-{{Redirect|方程式|化学中的方程式|化学方程式|活动团体|方程式组织}}
+{{Redirect|方程式|化學中的方程式|化學方程式|活動團體|方程式組織}}
 {{NoteTA
 |G1 = Math
 }}
-[[File:First Equation Ever.png|缩略图|400px|第一个用等式表示的方程，以现在的表示法为<math>14x + 15 = 71</math><ref>''The Whetstone of Witte'', Robert Recorde 1557</ref>]]
+[[File:First Equation Ever.png|缩略图|400px|第一個用等式表示的方程，以現在的表示法為<math>14x + 15 = 71</math><ref>''The Whetstone of Witte'', Robert Recorde 1557</ref>]]
 数学中'''方程'''可以简单的理解为含有[[未知数]]的[[等式]]。例如以下的方程：
 :<math>3x+3=2</math>
-其中的<math>x</math>为[[未知数]]。
+其中的<math>x</math>為[[未知數]]。
-如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个数到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。
+如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个數到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。
 求出方程的解或说明方程无解这一过程叫做[[解方程]]。可以用方程的解的存在状况为方程分类，例如，'''[[恒等式]]'''即恒成立的方程，例如<math>(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4</math>，在所指定的某个集合（比如[[复数 (数学)|复数]]集）中的全部元素都是它的解；'''[[矛盾式]]'''即矛盾的方程，如<math>x + 1 = x</math>，在所指定的某个集合（比如复数集）中没有元素满足这个等式。
-等式中的[[等号]]则是16世纪英国科学教育家{{link-en|罗伯特·雷科德|Robert Recorde}}发明。
+等式中的[[等號]]則是16世紀英國科學教育家{{link-en|羅伯特·雷科德|Robert Recorde}}發明。
-== “-{方程}-”一词的来历 ==
+== 「-{方程}-」一詞的來歷 ==
--{方程}-一词出现在中国早期的数学专著《[[九章算术]]》中<ref>{{Cite web |url=http://www.chiculture.net/0803/html/c61/0803c61.html |title=-{方程}-术 |accessdate=2014-01-08 |work=中国古代数学 |publisher=中国文化研究院}}</ref>，其“卷第八”即名“-{方程}-”。卷第八（一）为：
+-{方程}-一詞出現在中國早期的數學專著《[[九章算術]]》中<ref>{{Cite web |url=http://www.chiculture.net/0803/html/c61/0803c61.html |title=-{方程}-術 |accessdate=2014-01-08 |work=中國古代數學 |publisher=中國文化研究院}}</ref>，其「卷第八」即名「-{方程}-」。卷第八（一）爲：
 {{quote|
-<p>　　今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？</p>
+<p>　　今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？</p>
 <p>　　　　　　答曰：
@@ 第29行： / 第29行： @@
 　　　　　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。</p>
-<p>　　　　'''-{方程}-'''术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。</p>
+<p>　　　　'''-{方程}-'''術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。</p>
 }}
-翻成白话即为：
+翻成白話即為：
-现在这裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？
+現在這裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？
-其“-{方程}-术”用阿拉伯数字表示即为：
+其「-{方程}-術」用阿拉伯數字表示即為：
 <math>
@@ 第47行： / 第47行： @@
 </math>
-《九章算术》采用[[直除法]]即以一行首项系数乘另一行再对減消元来解方程。
+《九章算術》採用[[直除法]]即以一行首項係數乘另一行再對減消元來解方程。
-若设可打出黍的斗数分别为1捆上等黍<math>x\,</math>斗、1捆中等黍<math>y\,</math>斗、1捆下等黍<math>z\,</math>斗，可列方程组如下：
+若設可打出黍的斗數分別為1捆上等黍<math>x\,</math>斗、1捆中等黍<math>y\,</math>斗、1捆下等黍<math>z\,</math>斗，可列方程組如下：
 <math>
@@ 第69行： / 第69行： @@
 </math>
-由此可知，此时的“-{方程}-”指的是包含多个未知量的[[联立一次方程组|联立一次-{方程}-组]]，即现在的[[线性方程组|线性-{方程}-组]](直线方程式)。
+由此可知，此時的「-{方程}-」指的是包含多個未知量的[[聯立一次方程組|聯立一次-{方程}-組]]，即現在的[[線性方程組|線性-{方程}-組]](直線方程式)。
-到了魏晉时期，大数学家刘徽注《九章算术》时，給这种“-{方程}-”下的定义是：
+到了魏晉時期，大數學家劉徽注《九章算術》時，給這種「-{方程}-」下的定義是：
 {{quote|
-程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故謂之方程。
+程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實，令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。
 }}
-这裡所謂的“课程”指的是按不同物品的数量关系列出的式子。“实”就是式中的常数项。“令每行为率”，就是由一个条件列一行式子，橫列代表一个未知量。“如物数程之”，就是有几个未知数就必须列出几个等式。“方”的本义是并，将两条船并起来，船头拴在一起，謂之方。故而列出的一系列式子称“方程”。
+這裡所謂的「課程」指的是按不同物品的數量關係列出的式子。「實」就是式中的常數項。「令每行為率」，就是由一個條件列一行式子，橫列代表一個未知量。「如物數程之」，就是有幾個未知數就必須列出幾個等式。「方」的本義是並，將兩條船並起來，船頭拴在一起，謂之方。故而列出的一系列式子稱「方程」。
-== 已知数及未知数 ==
+== 已知數及未知數 ==
-方程常用来表示一些已知的量和未知的量之间的关系，前者称为已知数，后者称为未知数。一般表示未知数的符号会用英文字母最后的几个，如<math>x,y,z,w,\ldots</math>等，而已知数若以符号表示时，会用英文字母前面的几个，如<math>a,b,c,d,\ldots</math>等。将未知数用已知数来表示的过程称为[[解方程]]。若方程只有一个未知数，使方程成立的未知数数值称为方程的根或是解。方程组是由几个方程所组成，其中也有数个未知数，此时方程的解是一组未知数的值，使得所有方程均成立。
+方程常用來表示一些已知的量和未知的量之間的關係，前者稱為已知數，後者稱為未知數。一般表示未知數的符號會用英文字母最後的幾個，如<math>x,y,z,w,\ldots</math>等，而已知數若以符號表示時，會用英文字母前面的幾個，如<math>a,b,c,d,\ldots</math>等。將未知數用已知數來表示的過程稱為[[解方程]]。若方程只有一個未知數，使方程成立的未知數數值稱為方程的根或是解。方程组是由幾個方程所組成，其中也有數個未知數，此時方程的解是一組未知數的值，使得所有方程均成立。
-若方程的解可以由有限次常见运算的组合，这种解称为[[解析解]]，较复杂的方程式不一定可以找出解析解，或解析解根本不存在，但仍可以利用[[数值分析]]的方式解方程，此时得到的解称为数值解。
+若方程的解可以由有限次常見運算的組合，這種解稱為[[解析解]]，較複雜的方程式不一定可以找出解析解，或解析解根本不存在，但仍可以利用[[數值分析]]的方式解方程，此時得到的解稱為數值解。
-== 用天平来类比方程 ==
+== 用天平來類比方程 ==
-[[File:Equation illustration colour.svg|缩略图|用图像来类比方程，其中''x'', ''y'', ''z''为实数，用砝碼来类比]]
+[[File:Equation illustration colour.svg|缩略图|用圖像來類比方程，其中''x'', ''y'', ''z''為實數，用砝碼來類比]]
-[[天平]]或[[翘翘板]]可以用来类比方程。
+[[天平]]或[[翹翹板]]可以用來類比方程。
-天平的两边对应方程等号的两側，可以放不同的表示式数值。若天平两側平衡，表示等号两側的数值相等。若天平两側不平衡，此情形可以用[[不等式]]表示。
+天平的兩邊對應方程等號的兩側，可以放不同的表示式數值。若天平兩側平衡，表示等號兩側的數值相等。若天平兩側不平衡，此情形可以用[[不等式]]表示。
-在图示中，<math>x</math>，<math>y</math>和<math>z</math>都表示不同的量（例如[[实数]]），方程两側同加一数对应在天平两側加等重重物，同減一数对应在天平两側移去等重重物，只要等式成立，就表示二側的数值相等。
+在圖示中，<math>x</math>，<math>y</math>和<math>z</math>都表示不同的量（例如[[實數]]），方程兩側同加一數對應在天平兩側加等重重物，同減一數對應在天平兩側移去等重重物，只要等式成立，就表示二側的數值相等。
-== 方程组 ==
+== 方程組 ==
-[[方程组]]也称为联合方程式，是指两个或两个以上的方程式，一般也会有多个未知数。方程组的解是指一组未知数的值可以使这几个方程式同时成立。例如以下的系统
+[[方程組]]也稱為聯合方程式，是指兩個或兩個以上的方程式，一般也會有多個未知數。方程組的解是指一組未知數的值可以使這幾個方程式同時成立。例如以下的系統
 :<math>\begin{cases} 3x+5y=2
 \\ 5x+8y=3
@@ 第106行： / 第106行： @@
 </math>。
-== 方程的种类 ==
+== 方程的種類 ==
-方程可以依其中用到的[[运算]]及未知数的条件加以分类，以下是一些重要的种类：
+方程可以依其中用到的[[運算]]及未知數的條件加以分類，以下是一些重要的種類：
-* [[代数方程]]是指只由已知数及未知数的代数运算组合的方程，包括整式方程、分式方程与根式方程。
+* [[代數方程]]是指只由已知數及未知數的代數運算組合的方程，包括整式方程、分式方程与根式方程。
-** 整式方程也称作多项式方程。整式方程还可以依多项式的次数，可細分为[[一次方程]]、[[二次方程]]等。
+** 整式方程也稱作多項式方程。整式方程還可以依多項式的次數，可細分為[[一次方程]]、[[二次方程]]等。
 ** [[分式方程]]是指方程分母中至少含有一个未知数的方程。
@@ 第117行： / 第117行： @@
 有理方程与无理方程统称“代数方程”。
-* [[超越方程]]是指包含[[超越函数]]的方程<ref>{{cite book |author=周忠荣 |title=应用数学 |year=2005 |publisher=清华大学出版社有限公司 |location=北京 |isbn=7302112169 |url=http://books.google.com.tw/books?id=FVOpUUGIS4cC&pg=RA2-PA32&dq=%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%96%B9%E7%A8%8B#v=onepage&q=%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%96%B9%E7%A8%8B&f=false |pages=p.89}}</ref>，也叫做“非代数方程”。
+* [[超越方程]]是指包含[[超越函數]]的方程<ref>{{cite book |author=周忠荣 |title=应用数学 |year=2005 |publisher=清华大学出版社有限公司 |location=北京 |isbn=7302112169 ||pages=p.89}}</ref>，也叫做“非代数方程”。
-* [[函数方程]]是指其中包含未知函数的方程。
+* [[函数方程]]是指其中包含未知函數的方程。
-** [[微分方程]]是指其中包含未知函数[[导数]]（或微分）的函数方程。
+** [[微分方程]]是指其中包含未知函數[[導數]]（或微分）的函数方程。
-** [[积分方程]]是指其中包含未知函数[[积分]]的函数方程。
+** [[積分方程]]是指其中包含未知函數[[積分]]的函数方程。
-** {{link-en|积分微分方程|integro-differential equation}}是指其中同时包含未知函数积分和导数（或微分）的函数方程。
+** {{link-en|积分微分方程|integro-differential equation}}是指其中同時包含未知函數積分和導數（或微分）的函数方程。
-* [[不定方程]]是其中未知数不只一组的方程。
+* [[不定方程]]是其中未知數不只一組的方程。
-** [[丟番图方程]]是其中未知数不只一组，但只允许是整数的方程。
+** [[丟番圖方程]]是其中未知數不只一組，但只允許是整數的方程。
-* [[差分方程]]是其中未知数为一[[数列]]的方程。
+* [[差分方程]]是其中未知數為一[[數列]]的方程。
 === 整式方程 ===
-<!--{{main|代数方程}}-->
+<!--{{main|代數方程}}-->
-整式方程为等式两边均为[[多项式]]的方程，若以<math>p
+整式方程為等式兩邊均為[[多項式]]的方程，若以<math>p
-</math>表示多项式，则以下的方程即为整式方程：
+</math>表示多項式，則以下的方程即為整式方程：
 : <math>p(x, y, z, ...) = 0</math>
-多项式<math>p
+多項式<math>p
-</math>的零点即为代数方程的解，整式方程还可以依多项式的次数細分为[[一次方程]]、[[二次方程]]等。
+</math>的零點即為代數方程的解，整式方程還可以依多項式的次數細分為[[一次方程]]、[[二次方程]]等。
-[[四次方程]]及次数较低的一元整式方程，其所有根都可以用多项式系数的有限次的四则运算及开方来表示。为了解決高次方程的根能否用上述方式表示，引进[[伽罗瓦理论]]，也证明[[五次方程]]及更高次的方程无法用公式求解，这也是19世纪代数学的重大发现。
+[[四次方程]]及次數較低的一元整式方程，其所有根都可以用多項式係數的有限次的四則運算及开方來表示。為了解決高次方程的根能否用上述方式表示，引進[[伽羅瓦理論]]，也證明[[五次方程]]及更高次的方程無法用公式求解，這也是19世紀代數學的重大發現。
-数学史上许多重大的发现都和一元整式方程有关，例如边长为1的正方数，其对角线为无理数<math>\sqrt{2}</math>，也就是二次方程<math>x^2 = 2</math>的解。而在[[三次方程]]<math>x^3 + px + q = 0</math>的一个解可用以下公式求得
+數學史上許多重大的發現都和一元整式方程有關，例如邊長為1的正方數，其對角線為無理數<math>\sqrt{2}</math>，也就是二次方程<math>x^2 = 2</math>的解。而在[[三次方程]]<math>x^3 + px + q = 0</math>的一個解可用以下公式求得
 : <math>x = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}</math>
-三次方程的计算过程中有时需要为负数开平方，因此需导入[[复数 (数学)|复数]]的概念及相关计算<ref>{{Cite web |url=http://www.nani.com.tw/nani/steacher/stdownload/sword/000/TSA000CAG0A_11.pdf |title=复数的源流|accessdate=2014-01-08 |publisher=南一网 |quote=Cardan就在处理这问题时，自然地引出复数，后来在求三次方程式的公式解时，他引进了更多的复数。}}</ref>。
+三次方程的計算過程中有時需要為負數開平方，因此需導入[[复数 (数学)|复数]]的概念及相關計算<ref>{{Cite web |url=http://www.nani.com.tw/nani/steacher/stdownload/sword/000/TSA000CAG0A_11.pdf |title=複數的源流|accessdate=2014-01-08 |publisher=南一網 |quote=Cardan就在處理這問題時，自然地引出複數，後來在求三次方程式的公式解時，他引進了更多的複數。}}</ref>。
-=== 函数方程 ===
+=== 函數方程 ===
-[[函数方程]]是指未知量为一[[函数]]的方程。常见的是方程中出现函数[[导数]]的[[微分方程]]，微分方程在物理学中有许多的应用，微分方程又可以分为[[常微分方程]]及[[偏微分方程]]。
+[[函數方程]]是指未知量為一[[函數]]的方程。常見的是方程中出現函數[[導數]]的[[微分方程]]，微分方程在物理學中有許多的應用，微分方程又可以分為[[常微分方程]]及[[偏微分方程]]。
-离散系统下的[[差分方程]]可以对应连续系统的[[微分方程]]。在[[数值分析]]中也会用[[差分方程]]来近似微分方程的解。
+離散系統下的[[差分方程]]可以對應連續系統的[[微分方程]]。在[[數值分析]]中也會用[[差分方程]]來近似微分方程的解。
-==== 函数方程解的种类 ====
+==== 函數方程解的種類 ====
-微分方程及差分方程的解，可以分为一般解（general solution）及奇解（singular solution）二种：
+微分方程及差分方程的解，可以分為一般解（general solution）及奇解（singular solution）二種：
-:一般解：微分方程或差分方程的一般解，是指解为一组函数，而这个函数之间的差异只在于称为[[积分常数]]的系数不同。一个n阶的常微分方程式，其一般解中会有n个积分常数，积分常数需依微分方程的初始条件或边界条件来決定。因此一般解是指函数中包括未定的积分常数的解。若将一般解的积分常数用特定数值代入，即可得到特殊解（particular solution）。因此一般解也可说是所有特殊解的总和<ref name="微分方程"/>。
+:一般解：微分方程或差分方程的一般解，是指解為一組函數，而這個函數之間的差異只在於稱為[[積分常數]]的係數不同。一個n階的常微分方程式，其一般解中會有n個積分常數，積分常數需依微分方程的初始條件或邊界條件來決定。因此一般解是指函數中包括未定的積分常數的解。若將一般解的積分常數用特定數值代入，即可得到特殊解（particular solution）。因此一般解也可說是所有特殊解的總和<ref name="微分方程"/>。
-:奇异解：奇异解是指也可满足微分方程或差分方程，但其解和一般解的通式不同的，称为奇解<ref name="微分方程">{{cite book |author=田光全 |title=微分方程|year=1998 |publisher=中央图书出版社 |isbn=9576373891|url=http://books.google.com.tw/books?id=399sV-YUZhYC&pg=PA6#v=onepage&q&f=false |pages=p.6}}</ref>。
+:奇異解：奇異解是指也可滿足微分方程或差分方程，但其解和一般解的通式不同的，稱為奇解<ref name="微分方程">{{cite book |author=田光全 |title=微分方程|year=1998 |publisher=中央圖書出版社 |isbn=9576373891||pages=p.6}}</ref>。
-例如以下的[[克莱罗方程]]
+例如以下的[[克萊羅方程]]
 :<math>y = x\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2</math>
-其一般解为
+其一般解為
 :<math>y = Cx - C^2</math>
-而其奇解为
+而其奇解為
 :<math>y=\frac{x^2}{4}</math>
-=== 不定方程和丟番图方程 ===
+=== 不定方程和丟番圖方程 ===
-[[不定方程]]是不止有一个解的方程式或方程组，例如<math>2x=y
+[[不定方程]]是不止有一個解的方程式或方程組，例如<math>2x=y
-</math>有无限多组解，就是一种简单的不定方程。
+</math>有無限多組解，就是一種簡單的不定方程。
-若不定方程中有多个未知数，有时其解可以用[[参数方程]]来表示。例如上式的解可以表示为以下的
+若不定方程中有多個未知數，有時其解可以用[[參數方程]]來表示。例如上式的解可以表示為以下的
-参数方程：
+參數方程：
 :<math>x = t, y = 2t \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.\,</math>
-[[丟番图方程]]属于[[不定方程]]，是变数仅容许是[[整数]]的整数系数[[多项式]][[等式]]；即形式如<math>a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c</math>
+[[丟番圖方程]]屬於[[不定方程]]，是變數僅容許是[[整數]]的整數係數[[多項式]][[等式]]；即形式如<math>a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c</math>
-的等式，并且其中所有的<math>a_j</math>、<math>b_j</math>和<math>c</math>均是整数，若其中能找到一组整数解<math>m_1,m_2...m_n</math>者则称之有整数解。
+的等式，並且其中所有的<math>a_j</math>、<math>b_j</math>和<math>c</math>均是整數，若其中能找到一組整數解<math>m_1,m_2...m_n</math>者則稱之有整數解。
-丟番图问题一般可以有数条等式，其数目比未知数的数目少；丟番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。用另一种语言来说，丟番图问题定义代数曲綫或者代数曲面，或更为一般的几何形，要求找出其中的柵格点。对丟番图问题的数学研究称为'''丟番图分析'''。綫性丟番图方程为綫性整数系数多项式等式，即此多项式为次数为0或1的单项式的和。
+丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。用另一種語言來說，丟番圖問題定義代數曲綫或者代數曲面，或更爲一般的幾何形，要求找出其中的柵格點。對丟番圖問題的數學研究稱為'''丟番圖分析'''。綫性丟番圖方程爲綫性整數係數多項式等式，即此多項式爲次數爲0或1的單項式的和。
-丟番图方程的名字来源于3世纪[[希腊]]数学家[[亚历山大城]]的[[丟番图]]<ref>{{Cite web |url=http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/3/3_23/3_23_1011.htm |title=对代数学的发展起了重要作用的丢番图|accessdate=2014-01-08 |work=数学博览馆|publisher=中国科学院数学与系统科学研究院}}</ref>，他曾对这些方程进行研究，并且是第一个将符号引入代数的数学家。
+丟番圖方程的名字來源於3世紀[[希臘]]數學家[[亞歷山大城]]的[[丟番圖]]<ref>{{Cite web |url=http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/3/3_23/3_23_1011.htm |title=对代数学的发展起了重要作用的丢番图|accessdate=2014-01-08 |work=數學博覽館|publisher=中国科学院数学与系统科学研究院}}</ref>，他曾對這些方程進行研究，並且是第一個將符號引入代數的數學家。
-关于丟番图方程的理论的形成和发展是二十世纪数学一个很重要的发展。丟番图方程的例子有[[贝祖等式]]、[[勾股定理]]的整数解、[[四平方和定理]]和[[费马最后定理]]等。
+關於丟番圖方程的理論的形成和發展是二十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖方程的例子有[[貝祖等式]]、[[勾股定理]]的整數解、[[四平方和定理]]和[[費馬最後定理]]等。
-== 性质 ==
+== 性質 ==
-对一方程进行以下的处理，处理后的方程和原方程会有相同的解：
+對一方程進行以下的處理，處理後的方程和原方程會有相同的解：
-# 在等式二边[[加]]任意的实数。
+# 在等式二邊[[加]]任意的實數。
-# 在等式二边[[減]]任意的实数。
+# 在等式二邊[[減]]任意的實數。
-# 在等式二边[[乘]]任意不为零的实数。
+# 在等式二邊[[乘]]任意不為零的實數。
-# 在等式二边[[除]]任意不为零的实数。
+# 在等式二邊[[除]]任意不為零的實數。
-# 可以将等式二边套用函数，等式二边需使用相同的函数，而且需确认套用函数后不会造成方程[[增根及減根|增根或減根]]的情形。例如方程<math>yx=x</math>有二个解：<math>y=1</math>（<math>x
+# 可以將等式二邊套用函數，等式二邊需使用相同的函數，而且需確認套用函數後不會造成方程[[增根及減根|增根或減根]]的情形。例如方程<math>yx=x</math>有二個解：<math>y=1</math>（<math>x
-</math>为任意值）及<math>x=0</math>（<math>y
+</math>為任意值）及<math>x=0</math>（<math>y
-</math>为任意值）。等式二边平方，方程变成<math>(xy)^2=x^2</math>，新的方程除了原来的解外，还多了一个解<math>y=-1</math>（<math>x
+</math>為任意值）。等式二邊平方，方程變成<math>(xy)^2=x^2</math>，新的方程除了原來的解外，還多了一個解<math>y=-1</math>（<math>x
-</math>为任意值）。
+</math>為任意值）。
-上述的性质1至4，表示在[[抽象代数]]中，方程是[[体 (数学)|体]]的一种[[同餘关系]]。
+上述的性質1至4，表示在[[抽象代數]]中，方程是[[體 (數學)|體]]的一種[[同餘關係]]。
-最常见可进行上述运算的数体是[[实数]]，不过若方程式的数体是[[自然数]]，则不能进行減法及除法的运算，因为会产生负数或非整数等不是自然数的数。若方程式的数体是[[整数]]，则不能进行除法的运算，但可以进行減法的运算。
+最常見可進行上述運算的數體是[[實數]]，不過若方程式的數體是[[自然數]]，則不能進行減法及除法的運算，因為會產生負數或非整數等不是自然數的數。若方程式的數體是[[整數]]，則不能進行除法的運算，但可以進行減法的運算。
-若一不是[[单射]]函数的函数套用在等式二边，原方程的解也是新方程的解，但新方程的解会比原方程多（即增根），新方程的用处较少，上述性质1、2和4是单射函数，性质3在不乘以0时也符合单射函数的条件，一些广义的乘积（如[[内积]]）就不是单射函数。
+若一不是[[单射]]函數的函數套用在等式二邊，原方程的解也是新方程的解，但新方程的解會比原方程多（即增根），新方程的用處較少，上述性質1、2和4是单射函數，性質3在不乘以0時也符合单射函數的條件，一些廣義的乘積（如[[內積]]）就不是单射函數。
-上述性质可以用在代数方程的求解。
+上述性質可以用在代数方程的求解。
 == 参考文献 ==
@@ 第211行： / 第211行： @@
 * [[微分方程]]
 * [[函数方程]]
-* [[参数方程]]
+* [[參數方程]]
 * [[方程理论]]
-* [[公式编辑器]]
+* [[公式編輯器]]
 * [[不等式]]
 </div>
-== 外部链接 ==
+== 外部連結 ==
-* [https://web.archive.org/web/20090816161008/http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Winplot]：通用的绘图器，可以绘制二维及三维方程的图及动画{{en}}
+* [http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Winplot]：通用的繪圖器，可以繪製二維及三維方程的圖及動畫{{en}}
-* [http://www.wessa.net/math.wasp Mathematical equation plotter] ：绘制数学方程的二维图形，计算积分，并在线上计算方程的解{{en}}
+* [http://www.wessa.net/math.wasp Mathematical equation plotter] ：繪製數學方程的二維圖形，計算積分，並在線上計算方程的解{{en}}
-* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotter] ：一个可以制作二个未知数（''x''和''y''）的方程或不等式解的pdf档或postscript图，而且可以下载{{en}}
+* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotter] ：一個可以製作二個未知數（''x''和''y''）的方程或不等式解的pdf檔或postscript圖，而且可以下載{{en}}
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ EqWorld] ：包括许多数学方程解的资讯{{en}}
+* [http://eqworld.ipmnet.ru/ EqWorld] ：包括許多數學方程解的資訊{{en}}
-* [http://www.numberz.co.uk/ES.html EquationSolver] ：求解方程及线性方程组的网頁{{en}}
+* [http://www.numberz.co.uk/ES.html EquationSolver] ：求解方程及線性方程組的網頁{{en}}
-{{多项式|state=collapsed}}
+{{多項式|state=collapsed}}
 [[Category:方程| ]]