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自伴算子
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{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics}} 在[[數學]]裏,作用於一個有限維的[[内积空間]],一個'''自伴算子'''({{lang|en|self-adjoint operator}})等於自己的[[伴隨算子]];等價地說,在一组单位酉正交基下,表達自伴算子的[[矩陣]]是[[埃爾米特矩陣]]。埃爾米特矩陣等於自己的[[共軛轉置]]。根據有限維的[[譜定理]],必定存在著一個[[正交歸一性|正交歸一基]],可以表達自伴算子為一個[[實數|實值]]的[[對角矩陣]]。 == 量子力學 == {{物理算符}} 在[[量子力學]]裏,'''自伴算子''',又稱為'''自伴算符''',或'''厄米算符'''({{lang|en|Hermitian operator}}),是一種等於自己的[[厄米共軛]]的[[算符]]。給予算符<math>\hat{O}\,\!</math>和其[[伴隨算符]]<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>,假設<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math> ,則稱<math>\hat{O}\,\!</math>為厄米算符。厄米算符的[[期望值]]可以表示量子力学中的物理量。 === 可觀察量 === 由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量<math>O\,\!</math>的期望值是實值的: :<math>\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!</math>。 對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>,這關係都成立; :<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!</math>。 根據[[伴隨算符]]的定義,假設<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>是<math>\hat{O}\,\!</math>的伴隨算符,則<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!</math>。因此, :<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>。 這正是[[厄米算符]]的定義。所以,表示可觀察量的算符<math>\hat{O}\,\!</math>,都是厄米算符。 [[可觀察量]],像[[位置]],[[動量]],[[角動量]],和[[自旋]],都是用作用於[[希爾伯特空間]]的自伴算符來代表。[[哈密頓算符]]<math>\hat{H}\,\!</math>是一個很重要的自伴算符,表達為 :<math> \hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!</math>; 其中,<math>\psi\,\!</math>是粒子的[[波函數]],<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]],<math>m\,\!</math>是[[質量]],<math>V\,\!</math>是[[位勢]]。 哈密頓算符所代表的[[哈密頓量]]是粒子的總[[能量]],一個[[可觀察量]]。 動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>的波函數為<math>\psi(x)\,\!</math>, :<math>\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \,\!</math>。 對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>,<math>\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!</math>。所以,動量算符確實是一個厄米算符。 == 參考文獻 == {{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 96-106}} {{泛函分析}} [[Category:算子理論|Z]] [[Category:線性代數|Z]]
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