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{{NoteTA|G1=物理學}} 在[[連續介質力學]]裏,'''應力'''定義為單位[[面積]]所承受的[[作用力]]。以公式標記為 :<math>\sigma_{ij} = \lim_{\Delta A_i \to 0} \frac {\Delta F_j} {\Delta A_i}\,</math>; 其中,<math>\sigma \,</math>表示應力;<math>\Delta F_j\,</math>表示在<math>j\,</math>方向的施力;<math>\Delta A_i \,</math>表示在<math>i\,</math>方向的受力面積。 [[File:Stress in a continuum.svg|缩略图|350px|圖1,在一個可變形连续物質內部的各種可能應力]] 假設受力表面與施力方向[[正交]],則稱此應力分量為'''正向應力'''(normal stress),如圖1所示的<math>\sigma_{11}\,</math>(對黃色的那個面來說)、<math>\sigma_{22}\,</math>、<math>\sigma_{33}\,</math>,都是正向應力;假設受力表面與施力方向互相平行,則稱此應力分量為'''[[剪應力]]'''(shear stress),如圖1所示的<math>\sigma_{12}\,</math>、<math>\sigma_{13}\,</math>、<math>\sigma_{21}\,</math>、<math>\sigma_{23}\,</math>、<math>\sigma_{31}\,</math>、<math>\sigma_{32}\,</math>,都是剪應力。 「內應力」指組成單一構造的不同材質之間,因材質差異而導致變形方式的不同,繼而產生的各種應力。 採用[[國際單位制]],应力的单位是[[帕斯卡]](Pa),等於1[[牛頓]]/平方公尺。應力的單位與[[壓強]]的單位相同。兩種物理量都是單位面積的作用力的度量。通常,在工程學裏,使用的單位是megapascals(MPa)或gigapascals(GPa)。採用[[英制單位]],應力的單位是[[磅力]]/[[平方英寸]](psi)或[[千磅力]]/[[平方英寸]](ksi)。 == 应力张量 == 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“'''应力张量'''”(stress tensor)的[[二阶张量]](详见[[并矢张量]]或者[[张量积]])。概略地说,'''应力'''描述了[[连续介质]]内部之间通过力(而且是通过近距离接触[[作用力]])进行[[相互作用]]的强度。具体说,如果我们把连续介质用一张假想的光滑[[曲面]]把它一分为二,那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。很显然,即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下,这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同,所以,必须用一个不依赖于假想曲面的[[物理量]]来描述连续介质内部的相互作用的状态。对于连续介质来说,担当此任的就是应力张量,简称为应力。 在这裡,我们所说的'''连续介质'''同[[物理学]]中的[[质点]]、[[刚体]]、[[点电荷]]等类似,都是一种[[模型]],它假定[[物质]]没有[[微观|微观结构]],而只是[[连续]]地分布在一个给定的三维[[区域]]中--有些情况下也会假定它连续分佈在一个光滑曲面上,甚至一条光滑[[曲线]]上,不过我们这里暂不考虑这种二维分佈和一维分佈的连续介质。刚体就是连续介质的一种特殊情形。[[流体]]和[[弹性体]]也是连续介质的特殊情形。 设<math>d\mathbf{S}\,</math>是假想曲面<math>\mathcal{S}\,</math>的一个微小面积元素向量,其方向是垂直於假想曲面,朝著假想曲面的外側指去的方向,<math>d\mathbf{F}\,</math>是施加於假想曲面<math>d\mathbf{S}\,</math>的作用力,設定<math>d\mathbf{F}\,</math>的正值方向是朝著假想曲面的外側指去的方向。则,作为一个物理模型,<math>d\mathbf{F}\,</math>对<math>d\mathbf{S}\,</math>有线性依赖关系,也就是说,从<math>d\mathbf{S}\,</math>到<math>d\mathbf{F}\,</math>的映射是一个[[线性映射]]。这个线性映射可以通过二阶张量<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>(在[[电动力学]]和[[相对论]]中常常用<math>\mathbf{T}\,</math>来表示)和 <math>d\mathbf{S}\,</math>的[[张量缩并]]({{lang|en|tensor contraction}})得到: :<math>d\mathbf{F} = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\mathbf{S}\,</math>; 这裡的<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>就是应力张量。 如果建立一个[[直角坐标系]]<math>(O\, ; x, y, z)\,</math>,为了简便起见,我们把<math>x, \, y, \, z\,</math>分别记为<math>x^1, \, x^2, \, x^3\,</math>,把对应的三个单位矢量<math>\mathbf{i}, \, \mathbf{j}, \, \mathbf{k}\,</math>分别记为<math>\mathbf{e}_1 , \, \mathbf{e}_2 , \, \mathbf{e}_3\,</math>,则 :<math> d\mathbf{S} = \mathbf{e}_i \, dS^i \, , \qquad d\mathbf{F} = \mathbf{e}_i \, dF^i</math>, 在这裡,指标<math>i, \, j, \, k\,</math>等的取值范围为1, 2, 3,而且重复指标要按照[[爱因斯坦求和约定]]来求和。与通常的记号(见[[曲面积分]])来联系,有 :<math> dS^1 = dy \, dz \, , \qquad dS^2 = dz \, dx \, , \qquad dS^3 = dx \, dy</math>, 我们可以把应力张量<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>写成 :<math> \boldsymbol{\sigma} = \sigma^{ij} \, \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j</math>, 那么,按照[[并矢张量]]和[[矢量]]的缩并规则, :<math> \boldsymbol{\sigma} \cdot d\mathbf{S} = \sigma^{ij} \, (\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j) \cdot \mathbf{e}_k \, dS^k = \sigma^{ij} \, \mathbf{e}_i (\mathbf{e}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, dS^k = \sigma^{ij} \, \mathbf{e}_i \, g_{jk} \, dS^k = g_{jk}\sigma^{ij}\, dS^k\, \mathbf{e}_i \,</math>; 其中,<math>g_{jk}\,</math>是[[度量張量]]。 将上式右端与<math>d\mathbf{F} = \mathbf{e}_i \, dF^i\,</math>进行比较即可得到 :<math> dF^i =g_{jk}\sigma^{ij}\, dS^k =\sigma^{ij}\, dS_j</math>, 對於[[直角坐标系]],任意[[共變|共變量]]與其對應的[[共變和反變|反變量]]相等,因此可以將所有上標改變為下標。所以, :<math> dF_i =\sigma_{ij}\, dS_j</math>, 由此可以得到<math>\sigma_{ij}\,</math>的物理意义:如果假想曲面<math>\mathcal{S}\,</math>的微小面积元素<math>d\mathbf{S}\,</math>的方向和<math>\mathbf{e}_1\,</math>方向一致,则 :<math>d\mathbf{F} = \sigma_{i1} \, \mathbf{e}_i \, dS_1 = \sigma_{i1} \, \mathbf{e}_i \, dy \, dz</math>, 可见<math>\sigma_{i1}\,</math>是朝著<math>\mathbf{e}_i\,</math>方向施加於<math>x_1\,</math> [[等值曲面]]的單位面積的作用力。 很显然,应力张量的[[量纲]]和力与面积的比相同,都是<math>[F/S] = [M] \, [L^{-1}] \, [T^{-2}]\,</math>,在[[国际单位制]]中,它的单位是'''[[帕斯卡]]'''(Pa),<math>1 \, \mathrm{Pa} = 1 \, \mathrm{N}/\mathrm{m}^2\,</math>。这个单位也是[[压强]]的单位,我们马上就可以看到二者之间的关系。 == 高斯定理 == 如果连续介质被一张曲面<math>S\,</math>分隔为1、2两部分,如果我们要计算第2部分对第1部分的'''作用力的总和'''<math>\mathbf{F}_{21}\,</math>,就可以把<math>S\,</math>的'''单位法矢量'''<math>\hat{\mathbf{n}}\,</math>选为由1指向2,并且令<math>d\mathbf{S} = \hat{\mathbf{n}} \, dS\,</math>,则 :<math> \mathbf{F}_{21} = \iint_S \boldsymbol{\sigma} \cdot d\mathbf{S} </math>, 如果<math>S\,</math>是一个'''封闭曲面''',那么<math>\hat{\mathbf{n}}\,</math>就成为了第1部分所在[[区域]]<math>V\,</math>的[[外法矢量]],这时可以对上述积分应用'''[[高斯公式]]''',其结果为 :<math> \mathbf{F}_{21} = \iiint_V \mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma} \, dV \,</math>; 其中<math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma}\,</math>是二阶张量<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>的'''[[散度]]''',在这里我们把它定义为 :<math> \mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^j} \mathbf{e}_i = \nabla\cdot \boldsymbol{\sigma}' </math>, 而 :<math> \boldsymbol{\sigma}' = \sigma^{ij} \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i </math>, 是<math>\boldsymbol{\sigma} = \sigma^{ij} \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j\,</math>的'''[[转置]]'''。 关于'''二阶张量的高斯定理''',详见[[高斯公式]]。 == 牛顿第三定律自动满足 == 牛顿第三定律显然是满足的,因为,如果面积元<math>d\mathbf{S}\,</math>从介质的第1部分指向第2部分,则<math>d\mathbf{S}' = - d\mathbf{S}\,</math>就会从介质的第2部分指向第1部分,于是第2部分对第1部分的作用力<math>d\mathbf{F} = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\mathbf{S}\,</math>和第1部分对第2部分的作用力<math>d\mathbf{F}' = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\mathbf{S}'\,</math>显然满足<math>d\mathbf{F}' = - d\mathbf{F}</math>, == 应力张量的对称性 == 这里所说的对称性,是指[[转置]]下的不变性,即 :<math> \boldsymbol{\sigma}' = \boldsymbol{\sigma} </math>, 亦即 :<math> \sigma^{ji} = \sigma^{ij} </math>, 应力张量的对称性可由体积微元的力矩平衡推导得出。 在[[牛顿力学]]中,应力张量的对称性是[[角动量定理]]的一个推论。 == 压强和剪应力 == 可以把应力张量分解为'''[[压强]]'''(pressure)<math>p\,</math>和'''[[剪应力]]'''(shear stress)<math>\boldsymbol{\tau}\,</math>两部分。为此,我们先给出二阶张量的'''[[迹]]'''(trace)以及单位张量的定义。 设<math>\mathbf{T}\,</math>是一个二阶张量,而<math>(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)\,</math>是三维[[欧几里得空间]](Euclidean space)<math>E^3\,</math>的一个右手的[[标准正交基]](orthonormal basis),则定义<math>\mathbf{T}\,</math>的'''迹'''(trace) :<math>\mathrm{tr}\mathbf{T} = \sum_{i = 1}^3 \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{e}_i</math>, 在这裡,我们约定:如果求和号在表达式中出现,那么[[爱因斯坦求和约定]]就不再有效。 不难验证,如果把<math>\mathbf{T}\,</math>展开为<math>\mathbf{T} = T^{ij} \, \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j\,</math>,则 :<math>\mathrm{tr}\mathbf{T} = T^{ii}</math>, 接下来,我们定义 :<math> \mathbf{I} = \delta^{ij} \, \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j</math>, 则不难证明,<math>\mathbf{I}\,</math>的定义与标准正交基<math>(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)\,</math>的选取无关。此外,不难验证它有如下性质:对于任意一个矢量<math>\mathbf{a}\,</math>,总是成立着 :<math>\mathbf{I} \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{a}</math>, 因此我们称<math>\mathbf{I}\,</math>为<math>E^3\,</math>上的'''单位张量'''。 借助于以上两个概念,我们对应力张量<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>定义 :<math>p = - \frac{1}{3} \, \mathrm{tr} \, \boldsymbol{\sigma} \, , \qquad \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\sigma} + p \mathbf{I}</math>, 为了看清它们的物理意义,我们先考虑一个特殊情形:应力张量<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>满足<math>\boldsymbol{\tau} = 0\,</math>,则<math>\boldsymbol{\sigma} = - p \mathbf{I}\,</math>。在介质中任取一个面积元<math>d\mathbf{S}\,</math>,则面积元所指向的那部分介质('''外侧介质''')对它的'''内侧介质'''的作用力为<math>d\mathbf{F} = - p \, d\mathbf{S}\,</math>,负号表明<math>d\mathbf{F}\,</math>的方向与<math>d\mathbf{S}\,</math>相反,即介质的内部作用力是一种压力,其方向总是垂直于分隔面。在介质为流体的情形,<math>p\,</math>正好就是'''[[压强]]'''。 对于电磁场的[[馬克士威應力張量]]<math>\mathbf{T}\,</math>而言,上述定义下的压强<math>p\,</math>就是[[电磁场的能量密度]]<math>u\,</math>的三分之一,即[[光压]]: :<math> p = \frac{1}{3} u</math>, 见下面的「馬克士威應力張量」一节。 在讨论<math>\boldsymbol{\tau}\,</math>的物理意义之前,先给出它的一些基本性质。首先, :<math> \mathrm{tr} \, \boldsymbol{\tau} = 0</math>, 所以,常常称<math>\boldsymbol{\tau}\,</math>为<math>\boldsymbol{\sigma}\,</math>的'''无迹部分'''。 == 馬克士威應力張量 == 在[[电动力学]]中,[[电磁场]]的[[馬克士威應力張量]]在[[国际单位制]]中的表达式为 :<math>\mathbf{T} = \varepsilon_0 \mathbf{EE} + \frac{1}{\mu_0} \mathbf{BB} - u \mathbf{I}\,</math>; 其中 :<math>u = \frac{1}{2} \Big( \varepsilon_0 |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{\mu_0} |\mathbf{B}|^2 \Big)</math>, 是[[电磁场的能量密度]]。不难看出,馬克士威應力張量的迹<math>\mathrm{tr} \, \mathbf{T} = - u\,</math>,故它所对应的压强 :<math>p = \frac{1}{3} u</math>, 这就是[[统计力学]]中常常遇到的[[光压]]。 == 應力的種類 == * [[地应力]]:由于岩石发生形变而引起的介质内部单位面积上的作用力。 * 熱應力:材料由於[[溫度]]變化所產生的'''應力'''。 * 靜態應力:所施加於物體上的力大小與方向不隨[[時間]]變化的'''應力'''。 * 動態應力:所施加於物體上的力大小隨[[時間]]變化的'''應力'''。 * 疲勞應力:長時間反覆施加於物體上使得物體發生疲勞的'''應力'''。 * 殘留應力:物體受力後所產生的[[應變]]超過彈性範圍,而使得物體內部無法恢復原來的狀態所殘存的'''應力'''。 == 參見 == * [[应变 (物理学)|應變]] * [[馬克士威應力張量]] * [[胡克定律]] * [[能量-动量張量]] == 相關領域 == * [[彈性力學]] * [[材料力学]] * [[物理学]] * [[电动力学]] * [[相对论]] * [[场论]] == 參考文獻 == # Landau and Lifshitz,《Theory of Elasticity》(英譯本)3rd ed., Oxford: Pergamon Press, 1986: Section 2. # Landau and Lifshitz,《Fluid Mechanics》(英譯本)2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1987: Section 15. # Landau and Lifshitz,《Electrodynamics of Continuous Media》(英譯本)2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1984: Section 15. # 謝多夫,《連續介質力學》(第一卷,第6版,李植譯),北京:高等教育出版社,2007:94—101. {{连续介质力学}} {{固体物理学}} [[Category:固体力学|Y]] [[Category:物理量|Y]]
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