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割圜密率捷法
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[[File:割圜密率捷法卷一.JPG|缩略图|300px|割圜密率捷法卷一]] '''割圜密率捷法''',清朝数学家[[明安图]]积三十年之功写成;后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年(1774年)出版,时明安图已去世十年。<ref>吴文俊主编 《[[中国数学史大系]]》第七卷 447页</ref> 《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质,详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家[[李俨 (现代学者)|李儼]]说“数与形的结合,堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”<ref>李儼 《明清算家的割圆术研究》《[[李儼钱宝琮科学史全集]]》第7卷第 297页</ref>。 == 内容 == 卷一 步法 *; 圆径求周 <math>2*\pi*r=\frac{3*2*r}{4^0*1!}+\frac{1^2*3*2*r}{4^1*3!}+\frac{1^2*3^2*3*2*r}{4^3*5!}+\frac{1^2*3^2*5^2*7^2*9^2*11^2*13^2*15^2*17^2*19^2*3*2*r}{4^10*21!}</math>+………… 可以改写成 <math>\frac{\pi}{3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{((2n-1)!!)^2}{4^n*(2n+1)!}</math><ref name=ml>罗见今 第20页</ref>。 此展开式被清朝数学家称为“杜氏第一术”,出自[[牛顿]]。 *; 弧背求正弦 杜氏九术之二,出自格列高里:<ref name=lj>罗见今 第22页</ref>. 弧背为a,半径为r,通弦为c <math>\frac{c}{2}=rsin(\alpha)=a-\frac{a^3 } { 3!*r^2 } -\frac{ a^5 }{ 5!*r^4 } +\frac{ a^7 }{ 7!*r^6 }+</math>…… *; 弧背求正矢 “杜氏九术”之三,出自格列高里 <math>b=rvers\alpha=\frac{ a^2 }{ 2!*r }-\frac{a^4 }{ 4!*r^3 } +\frac{ a^6 }{ 6!*r^5 }+</math>………… *; 弧背求通弦 <math>2*\pi*r=2*a-\frac{(2a)^3}{4*3!*r^2}+\frac{(2*a)^5}{4^2*5!*r^4}+\frac{(2*a)^7}{4^3*7!*r^6}</math>+…… *; 弧背求矢 <math>h=\frac{(2*a)^2}{4*2!*r}-\frac{(2*a)^4}{4^2*4!*r}+\frac{(2*a)^6}{4^3*6!*r}</math>+………… *; 通弦求弧背 出自明安图: <math>2a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2*c^{2n+1}}{4^n*(2n+1)!*r^{2n}}</math><ref name=ljs>罗见今 第28页</ref>。 *; 正弦求弧背 出自明安图 <math>a=\sum_{n=0}^\infty \frac{[(2n-1)!!]^2*(r*sin\alpha)^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}</math><ref name=ljj30>罗见今 30页</ref>。 *; 正矢求弧背 <math>a^2=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2*(2b)^{n+1}}{(2n+2)!*r^{n-1}}</math><ref name=ljj31>罗见今 31页</ref>。 *; 矢求弧背 <math> (2a)^2=\sum_{n=0}^\infty\frac{2*(n!)^2*(8*r*vers\alpha)^{n+1}}{4^n*(2n+2)!*r^{n-1}}</math><ref name=ljj33>罗见今 33页</ref>。 *; 余弧求正弦正矢 <math>rvers(90-\alpha)=rcvers(\alpha)</math> <math>r-rcovers(\alpha)=rsin(\alpha)</math> <math>rsin(90-\alpha)=rcos(\alpha)</math> <math>r-rcos(\alpha)=rvers(\alpha)</math> *; 余矢余弦求本弧 *; 借弧背求正弦余弦 *; 借正弦余弦求弧背 卷二 用法 * 角度求八线 * * 直线三角形边角相求 * 弧线三角形边角相求 卷三 法解上 [[File:Geyuan milv jiefa figure 1.JPG|缩略图|300px|分弧通弦率数求全弧通弦率图解]] [[File:MingAntu Catalan number.JPG|缩略图|300px|明安图镇此书中最先运用[[卡塔兰数]]]] [[File:Geyuan Milv fig 2.JPG|缩略图|300px|弧背求通弦图解]] * 分弧通弦率数求全弧通弦率法解 * 弧背求通弦法解 * 通弦求弧背法解 * 弧背正弦相求法解 卷四 法解下 * 分弧正矢率数求全弧正矢率数法解 * 弧背求正矢法解 * 正矢求弧背法解 * 弧矢相求法解 * 弧矢弦正余互用法解 * 借弧背求正弦余弦法解 * 借正弦余弦求弧背法解 == 注释 == {{Reflist}} == 参考文献 == * 明安图著 《割圜密率捷法》卷一、二、三 * 明安图原著 罗见今译注 《割圜密率捷法》释注 内蒙古教育出版社 1998 * Yoshio Mikami Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1912 * Jami C, Etude du Livre "Methods Rapides des Trigonometrie et du Rapport Precis du Cercle" de Ming Antu,1985. {{中国数学史}} [[Category:圆周率算法]] [[Category:清朝数学书籍]] [[Category:18世纪中国书籍]] [[Category:1770年代中国]] [[Category:1774年]]
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