图 1 )长球面坐标系的几个坐标曲面 。红色长球面的
μ
=
1
{\displaystyle \mu=1}
。蓝色半个双叶双曲面的
ν
=
45
∘
{\displaystyle \nu=45^{\circ}}
。黄色半平面的
ϕ
=
−
60
∘
{\displaystyle \phi= - 60^{\circ}}
(黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角 角度是
|
ϕ
|
{\displaystyle \left|\phi\right|}
)。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示),直角坐标 大约为
(
0.831
,
−
1.439
,
2.182
)
{\displaystyle (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)}
。
图 2 )两个焦点在 z-轴的椭圆坐标系绘图。横轴是 x-轴,竖轴是 z-轴。红色椭圆(
μ
{\displaystyle \mu}
-等值线)变成上图的红色长球面(
μ
{\displaystyle \mu}
坐标曲面),而
x
>
0
{\displaystyle x>0}
青蓝色双曲线(
ν
{\displaystyle \nu}
-等值线)则变成蓝色双叶双曲面(
ν
{\displaystyle \nu}
坐标曲面)。
长球面坐标系 (英语:Prolate spheroidal coordinates )是一种三维正交坐标系 。设定二维椭圆坐标系 包含于 xz-平面;两个焦点
F
1
{\displaystyle F_{1}}
与
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的直角坐标 分别为
(
0
,
0
,
−
a
)
{\displaystyle (0,\ 0,\ - a)}
与
(
0
,
0
,
a
)
{\displaystyle (0,\ 0,\ a)}
。将椭圆坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到长球面坐标系。(假若,绕着 y-轴旋转,则可以得到扁球面坐标系 。)椭圆坐标系的两个焦点,包含于 z-轴。长球面坐标系可以被视为椭球坐标系 的极限案例,其两个最短的半轴的长度相同。
基本定义
在三维空间里,一个点 P 的长球面坐标
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ \phi)}
常见的定义是
x
=
a
sinh
μ
sin
ν
cos
ϕ
{\displaystyle x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi}
、
y
=
a
sinh
μ
sin
ν
sin
ϕ
{\displaystyle y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi}
、
z
=
a
cosh
μ
cos
ν
{\displaystyle z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu}
;
其中,
μ
≥
0
{\displaystyle \mu\ge 0}
是个实数,弧度
0
≤
ν
≤
π
{\displaystyle 0 \le \nu \le \pi}
,弧度
0
≤
ϕ
≤
2
π
{\displaystyle 0 \le \phi \le 2\pi}
。
坐标曲面
μ
{\displaystyle \mu}
坐标曲面 是长球面 :
z
2
a
2
cosh
2
μ
+
x
2
+
y
2
a
2
sinh
2
μ
=
cos
2
ν
+
sin
2
ν
=
1
{\displaystyle \frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1}
。
每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为
a
sinh
μ
{\displaystyle a\sinh\mu}
,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为
a
cosh
μ
{\displaystyle a\cosh\mu}
。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为
±
a
{\displaystyle \pm a}
。
ν
{\displaystyle \nu}
坐标曲面是半个旋转双叶双曲面 :
z
2
a
2
cos
2
ν
−
x
2
+
y
2
a
2
sin
2
ν
=
cosh
2
μ
−
sinh
2
μ
=
1
{\displaystyle \frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1}
。
当
ν
<
π
/
2
{\displaystyle \nu<\pi/2}
时,坐标曲面在 xy-平面以上;当
ν
>
π
/
2
{\displaystyle \nu>\pi/2}
时,坐标曲面在 xy-平面以下。
ϕ
{\displaystyle \phi}
坐标曲面是个半平面 :
x
sin
ϕ
−
y
cos
ϕ
=
0
{\displaystyle x\sin\phi - y\cos\phi=0}
。
标度因子
长球面坐标
μ
{\displaystyle \mu}
与
ν
{\displaystyle \nu}
的标度因子相等:
h
μ
=
h
ν
=
a
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
{\displaystyle h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}}
。
方位角
ϕ
{\displaystyle \phi}
的标度因子为
h
ϕ
=
a
sinh
μ
sin
ν
{\displaystyle h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu}
。
无穷小体积元素是
d
V
=
a
3
sinh
μ
sin
ν
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
d
μ
d
ν
d
ϕ
{\displaystyle dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi}
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
∂
2
Φ
∂
μ
2
+
∂
2
Φ
∂
ν
2
+
coth
μ
∂
Φ
∂
μ
+
cot
ν
∂
Φ
∂
ν
]
+
1
a
2
sinh
2
μ
sin
2
ν
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)}
\left[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} +
\coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} +
\cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}
\right] +
\frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
}
。
其它微分算子,像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{F}}
,
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{F}}
,都可以用
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ \phi)}
坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系 条目内对应的一般公式。
应用
当边界条件涉及长球面 时,长球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式 。例如,位置分别在 z-轴两个焦点的电子,会产生怎样的静电场 ?一个关于氢离子
H
2
+
{\displaystyle H_2^+}
的问题是,当移动于两个正价的原子核 中间时,一个电子 的波函数 是什么?另外一个很实际的问题是,两个小电极尖端之间的电场是什么?极限案例包括一根电线段 (
μ
=
0
{\displaystyle \mu=0}
) 产生的电场,缺了一线段的一根电线 (
ν
=
0
{\displaystyle \nu=0}
) 产生的电场。
第二种表述
图 3 )第二种长球面坐标系
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ \phi)}
的三个坐标曲面 。红色长球面的
σ
=
1.54
{\displaystyle \sigma=1.54}
坐标曲面。蓝色半个旋转双曲面的
τ
=
0.71
{\displaystyle \tau=0.71}
坐标曲面 。黄色半平面的
ϕ
=
−
60
∘
{\displaystyle \phi=-60^{\circ}}
坐标曲面 (黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角 角度是
|
ϕ
|
{\displaystyle \left|\phi\right|}
)。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示)。直角坐标 大约为
(
0.831
,
−
1.439
,
2.182
)
{\displaystyle (0.831,\ - 1.439,\ 2.182)}
。
另外,还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ \phi) }
:
σ
=
cosh
μ
{\displaystyle \sigma=\cosh\mu}
、
τ
=
cos
ν
{\displaystyle \tau=\cos \nu}
、
ϕ
=
ϕ
{\displaystyle \phi=\phi}
。
其中,
σ
≥
1
{\displaystyle \sigma\ge 1}
是个实数,
1
≥
τ
≥
−
1
{\displaystyle 1\ge \tau\ge - 1}
是个实数,弧度
0
≤
ϕ
≤
2
π
{\displaystyle 0 \le \phi \le 2\pi}
。
与扁球面坐标系 不同,长球面坐标系并没有简并 。在三维空间里,长球面坐标系与直角坐标 有一一对应 关系:
x
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
cos
ϕ
{\displaystyle x = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi}
、
y
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
sin
ϕ
{\displaystyle y = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi}
、
z
=
a
σ
τ
{\displaystyle z = a\ \sigma\ \tau}
。
坐标曲面
σ
{\displaystyle \sigma}
坐标曲面 是长球面 :
z
2
a
2
σ
2
+
x
2
+
y
2
a
2
(
σ
2
−
1
)
=
1
{\displaystyle \frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1}
。
每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为
a
σ
2
−
1
{\displaystyle a \sqrt{\sigma^2 - 1}}
,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为
a
σ
{\displaystyle a\sigma}
。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为
±
a
{\displaystyle \pm a}
。
τ
{\displaystyle \tau}
坐标曲面是半个旋转双曲面 :
z
2
a
2
τ
2
−
x
2
+
y
2
a
2
(
1
−
τ
2
)
=
1
{\displaystyle \frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1}
。
当
τ
>
0
{\displaystyle \tau>0}
时,坐标曲面在 xy-平面以上;当
τ
<
0
{\displaystyle \tau<0}
时,坐标曲面在 xy-平面以下。
ϕ
{\displaystyle \phi}
坐标曲面是个半平面 :
x
sin
ϕ
−
y
cos
ϕ
=
0
{\displaystyle x\sin\phi - y\cos\phi=0}
。
任何一点 P 与焦点
F
1
{\displaystyle F_{1}}
,
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的距离
d
1
{\displaystyle d_1}
,
d
2
{\displaystyle d_2}
,可以一个很简单的公式表示:
d
1
+
d
2
=
2
a
σ
{\displaystyle d_{1}+d_{2} = 2a\sigma}
、
d
1
−
d
2
=
2
a
τ
{\displaystyle d_{1} - d_{2}= 2a\tau}
。
所以,点 P 与焦点
F
1
{\displaystyle F_{1}}
的距离
d
1
{\displaystyle d_1}
是
a
(
σ
+
τ
)
{\displaystyle a(\sigma+\tau)}
,点 P 与焦点
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的距离
d
2
{\displaystyle d_2}
是
a
(
σ
−
τ
)
{\displaystyle a(\sigma - \tau)}
。(回想
F
1
{\displaystyle F_{1}}
,
F
2
{\displaystyle F_{2}}
都是在 z-轴,分别位于
z
=
−
a
{\displaystyle z= - a}
,
z
=
+
a
{\displaystyle z=+a}
。)
标度因子
第二种长球面坐标
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ \phi)}
的标度因子分别为:
h
σ
=
a
σ
2
−
τ
2
σ
2
−
1
{\displaystyle h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}}
、
h
τ
=
a
σ
2
−
τ
2
1
−
τ
2
{\displaystyle h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}}
、
h
ϕ
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
{\displaystyle h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}}
。
无穷小体积元素是
d
V
=
a
3
(
σ
2
−
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
ϕ
{\displaystyle dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi}
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
σ
2
−
τ
2
)
{
∂
∂
σ
[
(
σ
2
−
1
)
∂
Φ
∂
σ
]
+
∂
∂
τ
[
(
1
−
τ
2
)
∂
Φ
∂
τ
]
}
+
1
a
2
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[
\left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
}
。
其它微分算子,像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{F}}
,
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf{F}}
,都可以用
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ \phi)}
坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系 条目内对应的一般公式。
应用
如同球坐标 解答的形式为球谐函数 ,拉普拉斯方程 可以用分离变数法 来求解,得到形式为长扁球谐函数 的答案。假若,边界条件涉及长球面,我们可以优先选择这方法来解析。
参阅
参考目录
不按照命名常规
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 采用
ξ
1
=
a
cosh
μ
{\displaystyle \xi_1=a\cosh\mu}
、
ξ
2
=
sin
ν
{\displaystyle \xi_2=\sin\nu}
、
ξ
3
=
cos
ϕ
{\displaystyle \xi_3=\cos\phi}
。
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9 . 如同 Morse & Feshbach (1953) ,采用
u
k
{\displaystyle u_k}
来替代
ξ
k
{\displaystyle \xi_k}
。
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 采用混合坐标
ξ
=
cosh
μ
{\displaystyle \xi=\cosh\mu}
、
η
=
sin
ν
{\displaystyle \eta=\sin\nu}
、
ϕ
=
ϕ
{\displaystyle \phi=\phi}
。
按照命名常规
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 采用第一种表述
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ \phi)}
,又加介绍了简并的第三种表述
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ \phi) }
。
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 如同 Korn and Korn (1961) ,但采用余纬度
θ
=
90
∘
−
ν
{\displaystyle \theta=90^{\circ} - \nu}
来替代纬度
ν
{\displaystyle \nu}
。
Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7 . Moon and Spencer 采用余纬度常规
θ
=
90
∘
−
ν
{\displaystyle \theta=90^{\circ} - \nu}
,又改名
ϕ
{\displaystyle \phi}
为
ψ
{\displaystyle \psi}
。
特异命名常规
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347 . 视长球面坐标系为椭球坐标系的极限。