隐含狄利克雷分布

隐含狄利克雷分布（英语：Latent Dirichlet allocation，简称LDA），是一种主题模型，它可以将文档集中每篇文档的主题按照概率分布的形式给出。同时它是一种无监督学习算法，在训练时不需要手工标注的训练集，需要的仅仅是文档集以及指定主题的数量k即可。此外LDA的另一个优点则是，对于每一个主题均可找出一些词语来描述它。

LDA首先由 David M. Blei、吴恩达和迈克尔·I·乔丹于2003年提出^[1]，目前在文本挖掘领域包括文本主题识别、文本分类以及文本相似度计算方面都有应用。

数学模型

LDA是一种典型的词袋模型，即它认为一篇文档是由一组词构成的一个集合，词与词之间没有顺序以及先后的关系。一篇文档可以包含多个主题，文档中每一个词都由其中的一个主题生成。

另外，正如Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，狄利克雷分布作为多项式分布的共轭先验概率分布。因此正如LDA贝斯网络结构中所描述的，在LDA模型中一篇文档生成的方式如下:

从狄利克雷分布 $\alpha$ 中取样生成文档i的主题分布 $\theta_i$
从主题的多项式分布 $\theta_i$ 中取样生成文档i第j个词的主题 $z_{i, j}$
从狄利克雷分布 $\beta$ 中取样生成主题 $z_{i, j}$ 的词语分布 $\phi_{z_{i, j}}$
从词语的多项式分布 $\phi_{z_{i, j}}$ 中采样最终生成词语 $w_{i, j}$

因此整个模型中所有可见变量以及隐藏变量的联合分布是

p(w_i, z_i, \theta_i, \Phi | \alpha, \beta) = \prod_{j = 1}^{N} p(\theta_i|\alpha)p(z_{i, j}|\theta_i)p(\Phi|\beta)p(w_{i, j}|\phi_{z_{i, j}})

最终一篇文档的单词分布的最大似然估计可以通过将上式的 $\theta_i$ 以及 $\Phi$ 进行积分和对 $z_i$ 进行求和得到

p(w_i | \alpha, \beta)  = \int_{\theta_i}\int_{\Phi }\sum_{z_i}p(w_i, z_i, \theta_i, \Phi | \alpha, \beta)

根据 $p(w_i | \alpha, \beta)$ 的最大似然估计，最终可以通过吉布斯采样等方法估计出模型中的参数。

使用吉布斯采样估计LDA参数

在LDA最初提出的时候，人们使用EM算法进行求解，后来人们普遍开始使用较为简单的Gibbs Sampling，具体过程如下：

首先对所有文档中的所有词遍历一遍，为其都随机分配一个主题，即 $z_{m,n}=k\sim Mult(1/K)$ ，其中m表示第m篇文档，n表示文档中的第n个词，k表示主题，K表示主题的总数，之后将对应的 $n_{m}^k+1$ ， $n_{m}+1$ ， $n_{k}^t+1$ ， $n_{k}+1$ ，他们分别表示在m文档中k主题出现的次数，m文档中主题数量的和，k主题对应的t词的次数，k主题对应的总词数。
之后对下述操作进行重复迭代。
对所有文档中的所有词进行遍历，假如当前文档m的词t对应主题为k，则 $n_{m}^k-1$ ， $n_{m}-1$ ， $n_{k}^t-1$ ， $n_{k}-1$ ，即先拿出当前词，之后根据LDA中topic sample的概率分布sample出新的主题，在对应的 $n_{m}^k$ ， $n_{m}$ ， $n_{k}^t$ ， $n_{k}$ 上分别+1。