累积分布函数

累积分布函数（英语：Cumulative Distribution Function、CDF），又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。

对于所有实数x ，累积分布函数定义如下：

$F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)$

性质

• 有界性
  • $\lim_{x\to -\infty}F_X(x)=0$
  • $\lim_{x\to +\infty}F_X(x)=1$
• 单调性：
  • $F_X(x_1) \le F_X(x_2),\ \mbox{if} \, x_1<x_2$
• 右连续性：
  • $\lim_{x \rightarrow x_0^+} F_X(x) = F_X(x_0)$

X之值落在一区间(a,b]之内的概率为

$\operatorname{P}(a < X \le b)= F_X(b)-F_X(a)$

一随机变量X的CDF与其PDF的关系为

$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt$

反函数

若累积分布函数 F 是连续的严格增函数，则存在其反函数$F^{-1}( y ), y \in [0,1]$。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若$F_X(x)$是概率分布X的累积分布函数，并存在反函数$F_X^{-1}$。若a是[0,1)区间上均匀分布的随机变量，则$F_X^{-1}(a)$服从X分布。

互补累积分布函数

互补累积分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于a的值，其出现概率的和。

$F(a)=P(x>a)$

参见

• 概率密度函数
• 概率质量函数