取整函数

下取整函数

上取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

下取整函数即为取底符号，在数学中一般记作$[ x ]$或者$\lfloor x \rfloor$或者$E(x)$，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。

$[ x ]=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.$

举例来说，$[ 3.633 ] = 3$，$[ 56 ] = 56$，$[ -2 ] = -2$，$[ -2.263 ] = -3$。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而$x -[ x]$叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（$[x]$），称作高斯符号。

上取整函数即为取顶符号在数学中一般记作$\lceil x \rceil$，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。

$\lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.$

举例来说，$\lceil 3.633 \rceil = 4$，$\lceil 56 \rceil = 56$，$\lceil -2 \rceil = -2$，$\lceil -2.263 \rceil = -2$。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。

性质

对于高斯符号，有如下性质。

• 按定义：

$[ x] \le x < [ x ] + 1$ 当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正实数，则：

$\left[ \frac{n}{x} \right] \geq \frac{n}{x} - \frac{n-1}{x}$

• 高斯符号为等幂运算：$[[ x]]=[ x]$.
• 对任意的整数k和任意实数x，

$[ {k+x} ] = k + [ x].$

• 一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符号不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符号导数为零。
• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。

• 用高斯符号可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。
• 对于非整数的x，高斯符号有如下的富裡葉展开：

$[ x] = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.$

• 对于互素的正整数m和n，有：

$\sum_{i=1}^{n-1} [ im / n ] = (m - 1) (n - 1) / 2$

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符号制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 $[ \log_{p}(k) ] + 1$ 个数位。

对于上取整函数：

• 显然有：

$\lceil x \rceil = - [ - x ]$

• 以及：

$x \leq - [ - x ] < x + 1$

• 对于整数k有：

$[ k / 2 ] - [ - k / 2 ] = k$.

其它等式

• $[x+1]=[x]+1$
• 设x为一个实数，n为整数，则

$\sum_{k = 0}^{n - 1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$

$E(\frac{1}{n}E(nx))=E(x)$

• 对于两个相反数的高斯符号，有：

如果x为整数，则$E(x) + E(-x) = 0$

否则$E(x) + E(-x) = -1$

参见

• 高斯符号