原时

原时（英语：proper time），或称固有时间，是在相对论中与事件位在同处的时钟所测量的唯一时间，他不仅取决于事件，时钟也在事件的行动之中。对同一个事件，一个加速中的时钟所测得的原时会比在非加速（惯性）中时钟的原时为短。双生子佯谬就是其中的一个例子。

在四维时空中，原时类似在三维空间（欧几里得空间）的弧长。在习惯上，原时通常使用希腊字母 $\tau$ 来标示，以与协调时 $t$ 有所区别。

相对的，协调时（英语：coordinate time）能由一个与事件有一段距离的观测者来应用。在狭义相对论中，协调时总是由在惯性系统内有关联的观测者计算，而原时则由同在加速中的观测者测量。

数学形式

原时的定义中，包含路径在时空中的描述，和那个时空的度量结构，这个路径可以代表时钟、观测者或粒子。

狭义相对论

在狭义相对论，原时的定义如下：

${\displaystyle \tau = \int \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} dt = \int \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left ( \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right) } dt}$ ,

此处， $v(t)$ 是在协调时 $t$ 的座标速度， $x$ 、 $y$ 和 $z$ 是空间中的正交座标。

如果 $t$ 、 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 都用一个参量 $\lambda$ 的参数，公式可以简化为：

${\displaystyle \tau = \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \left ( \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right) } d\lambda}$ .

以微分的型式可以写成路径的积分：

$\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - dx^2/c^2 - dy^2/c^2 - dz^2/c^2}$ ,

此处， $P$ 是时钟在时空中的路径。

为让事件简化，在狭义相对论中的惯性运动可以转化成对瞬时座标成常数比的空间座标。这进一步简化了原时方程式：

$\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^2 - \Delta x^2/c^2 - \Delta y^2/c^2 - \Delta z^2/c^2}$ ,

此处， $\Delta$ 的意思是在两个事件的变化。

狭义相对论的方程式是后续的一般状况中的特例。

广义相对论

狭义相对论中的例子

例一：双生子佯谬

在双胞胎佯谬里。Alice所处座标系统是惯性座标。她座标在所处系统内从 $(0,0,0,0)$ 移动到 $(10\text{yr},0,0,0)$ ：即她在原点 $x=y=z=0$ 上停留10年。她的原时是：

\Delta \tau_{A} = \sqrt{\Delta t_{A}^2} = 10\text{yr}

在狭义相对论里，只有在处于静止的座标，原时和座标时间一样。

如果另外一人Bob，在Alice的座标内在 $(0,0,0,0)$ 出发，以0.8c运动5年到 $(5\text{yr},4\text{ly},0,0)$ 。到达后Bob加速（忽略加速过程）、反方向运动再移动5年回Alice的原点 $(10\text{yr},0,0,0)$ 。前后两段原时分别是：

\Delta \tau_{B}= \sqrt{\Delta t_{B}^2-\Delta x_{B}^2}=3\text{yr}

因此在Bob来回运动原时差是6年。这正等于在Bob座标里经历的座标时间。这表示原时方程式里自动包括了狭义相对论的时间扩张等作用。事实上在狭义相对论时空里运动的物件经历的原时差是：

\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^2-\frac{v_x^2}{c^2} \Delta t^2-\frac{v_y^2}{c^2} \Delta t^2- \frac{v_z^2}{c^2} \Delta t^2} = \Delta t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

正是时间扩张公式。

例二：旋转盘

广义相对论中的例子

例三：旋转盘（again）

例四：史瓦西解–地球上的时间

原时方程式有一个新增的史瓦西解：

$d\tau = \sqrt{\left( 1 - 2m/r \right ) dt^2 - \frac{1}{c^2}\left ( 1 - 2m/r \right )^{-1} dr^2 - \frac{r^2}{c^2} d\theta^2 - \frac{r^2}{c^2} \sin^2 \theta \; d\phi^2}$ ,

参考资料

原时

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