正则坐标

在经典力学里，正则坐标是相空间的一种坐标。正则坐标很自然的出现于哈密顿力学的研究。正如同哈密顿力学的被辛几何广义化，正则变换也被切触变换广义化。如此在经典力学里，正则坐标的19世纪定义也被广义化，成为更抽象地以余切丛为基础的20世纪定义。

这篇文章解释在经典力学里的正则坐标。在量子力学里，也有一个密切相关的概念；欲知细节，请参阅史东-冯诺伊曼定理与正则对易关系。

定义

在哈密顿力学里，正则坐标 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\!$ 必须满足哈密顿方程：

$\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\!$ ，

$\dot{\mathbf{p}}= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\,\!$ ；

其中，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\,\!$ 是哈密顿量、$\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\!$ 是广义坐标、$\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\!$ 是广义动量。

特性

正则坐标满足基本泊松括号关系：

$[q_i, q_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}} = 0\,\!$ ，

$[p_i, p_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}} = 0\,\!$ ，

$[q_i, p_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}}= \delta_{ij}\,\!$ 。

正则坐标可以用勒让德变换从拉格朗日形式论的广义坐标求得；也可以用正则变换从另外一组正则坐标求得。

相关条目

• 正则变换
• 辛矩阵
• 辛标记
• 哈密顿-雅可比方程